2桁×2桁の暗算の方法

※$1$桁$\times n$桁の暗算ができることが前提です。
できなければ練習しておいてください。

1. 十の位が同じ場合
   $$例：32\times 37=30\times 39+2\times 7=1184$$
   $$42\times 48=40\times 50+2\times 8=2016$$
   $$76\times 76=72\times 80+4^2=5776$$

&&&prf
$$a,b,c,d\in \{1,2,...,9\}$$
$$(10a+b)(10c+d)$$
$$c=aより$$
$$(10a+b)(10a+d)$$
$$=100a^2+10ad+10ab+bd$$
$$=10a(10a+b+d)+bd$$

$$・一の位を足すと10になる場合 b+d=10$$
$$10a(10a+b+d)+bd$$
$$=10a(10a+10)+bd$$
$$=a(a+1)\times 100+bd$$

$$・二乗の場合 d=b$$
$$(10a+b{)}^2$$
$$=(10a+b-b)(10a+b+b)+b^2$$
$$=10a(10a+2b)+b^2$$
もしくは
$$(10a+b{)}^2$$
$$=100a^2+20ab+b^2$$
$$=10a(10a+2b)+b^2$$
&&&

2. 11の倍数の場合
   $$例：22\times 42=11\times 84=840+84=924$$

&&&prf
$$a,b,k\in \{1,2,...,9\}$$
$$11k\times (10a+b)$$
$$=11\times k(10a+b)$$
$$=(10+1)\times k(10a+b)$$
$$=10k(10a+b)+k(10a+b)$$
&&&

3. 合成数の場合
   $$例：84\times 16=84\times 4\times 4=336\times 4=1344$$

4. 一の位が1,2,8,9の場合
   $$例：31\times 73=30\times 73+73$$
   $$34\times 78=34\times (80-2)=34\times 80-2\times 34=2720-68=2652$$

5. その他
   $$例：37\times 53=37\times 50+37\times 3=1710+111=1821$$