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中学数学解説
文献あり

2桁×2桁の暗算の方法

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$1$$×n$桁の暗算ができることが前提です。
できなければ練習しておいてください。

  1. 十の位が同じ場合
    $$例:32×37 = 30×39 + 2×7 = 1184$$
    $$  42×48 = 40×50 + 2×8 = 2016$$
    $$  76×76 = 72×80 + 4^{2} = 5776$$

&&&prf
$$a,b,c,d \in \lbrace 1,2,...,9 \rbrace$$
$$(10a+b)(10c+d)$$
$$c=aより$$
$$(10a+b)(10a+d)$$
$$=100a^{2}+10ad+10ab+bd$$
$$=10a(10a+b+d)+bd$$

$$・一の位を足すと10になる場合 b+d=10$$
$$10a(10a+b+d)+bd$$
$$=10a(10a+10)+bd$$
$$=a(a+1)×100+bd$$

$$・二乗の場合 d=b$$
$$(10a+b)^{2}$$
$$=(10a+b-b)(10a+b+b)+b^{2}$$
$$=10a(10a+2b)+b^{2}$$
もしくは
$$(10a+b)^{2}$$
$$=100a^{2}+20ab+b^{2}$$
$$=10a(10a+2b)+b^{2}$$
&&&

  1. 11の倍数の場合
    $$例:22×42 = 11×84 = 840+84 = 924$$

&&&prf
$$a,b,k \in \lbrace 1,2,...,9 \rbrace$$
$$11k×(10a+b)$$
$$=11×k(10a+b)$$
$$=(10+1)×k(10a+b)$$
$$=10k(10a+b)+k(10a+b)$$
&&&

  1. 合成数の場合
    $$例:84×16 = 84×4×4 = 336×4 = 1344$$

  2. 一の位が1,2,8,9の場合
    $$例:31×73 = 30×73 + 73$$
    $$  34×78 = 34×(80-2) = 34×80 - 2×34 = 2720 - 68 = 2652$$

  3. その他
    $$例:37×53 = 37×50 + 37×3 = 1710 + 111 = 1821$$

参考文献

[1]
アーサー・ベンジャミン&マイケル・シャーマー, 暗算の達人, ソフトバンク クリエイティブ株式会社, 2007
投稿日:2021429

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あーく
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使える数学、面白い数学の分かりやすい解説を心がけています。

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