2桁×2桁の暗算の方法

※$1$桁$×n$桁の暗算ができることが前提です。
できなければ練習しておいてください。

1. 十の位が同じ場合
   $$例：32×37 = 30×39 + 2×7 = 1184$$
   $$　　42×48 = 40×50 + 2×8 = 2016$$
   $$　　76×76 = 72×80 + 4^{2} = 5776$$

&&&prf
$$a,b,c,d \in \lbrace 1,2,...,9 \rbrace$$
$$(10a+b)(10c+d)$$
$$c=aより$$
$$(10a+b)(10a+d)$$
$$=100a^{2}+10ad+10ab+bd$$
$$=10a(10a+b+d)+bd$$

$$・一の位を足すと10になる場合　b+d=10$$
$$10a(10a+b+d)+bd$$
$$=10a(10a+10)+bd$$
$$=a(a+1)×100+bd$$

$$・二乗の場合　d=b$$
$$(10a+b)^{2}$$
$$=(10a+b-b)(10a+b+b)+b^{2}$$
$$=10a(10a+2b)+b^{2}$$
もしくは
$$(10a+b)^{2}$$
$$=100a^{2}+20ab+b^{2}$$
$$=10a(10a+2b)+b^{2}$$
&&&

2. 11の倍数の場合
   $$例：22×42 = 11×84 = 840+84 = 924$$

&&&prf
$$a,b,k \in \lbrace 1,2,...,9 \rbrace$$
$$11k×(10a+b)$$
$$=11×k(10a+b)$$
$$=(10+1)×k(10a+b)$$
$$=10k(10a+b)+k(10a+b)$$
&&&

3. 合成数の場合
   $$例：84×16 = 84×4×4 = 336×4 = 1344$$

4. 一の位が1,2,8,9の場合
   $$例：31×73 = 30×73 + 73$$
   $$　　34×78 = 34×(80-2) = 34×80 - 2×34 = 2720 - 68 = 2652$$

5. その他
   $$例：37×53 = 37×50 + 37×3 = 1710 + 111 = 1821$$