【問題】射影加群・移入加群・平坦加群のなす圏が核・余核を持つのはいつか？

圏論,ホモロジー代数,環論

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加法圏の核・余核の定義や、射影・移入・平坦加群の定義は既知とします。核・余核については例えば参考文献の「圏論の技法」を、加群については例えば「環と加群のホモロジー代数的理論」を参照してください。

加法圏が核を持つとは、任意の射に対してその（圏論的な）核が存在するときをいう。同様に余核を持つ加法圏も定義する。

このページのタイトルの問題が予想以上に深くて難しそうなので、簡潔に解いてくれる挑戦者をお待ちしております。

環 $Λ$ について、次の4つの圏

有限生成射影的な左 $Λ$ 加群のなす圏
射影的な左 $Λ$ 加群のなす圏
移入的な左 $Λ$ 加群のなす圏
平坦な左 $Λ$ 加群のなす圏

が、それぞれ核・余核を持つのはいつかを、8通りの組み合わせそれぞれについて、 $Λ$ の言葉で（ネーター性などや、ホモロジー次元の言葉で）特徴づけよ。

もちろん上の4個の圏は左 $Λ$ 加群のなす圏の充満部分圏として考えます。つまり射は普通の $Λ$ 加群の準同型のことです。

想定している回答は例えば「それは $Λ$ が右ネーター環で $Λ$ の大域次元が $5$ のときだ」のような特徴づけです。

一応非可換な環を想定していますが、可換な場合に限定した回答もお待ちしております。

例えば「有限生成射影的 $Z$ 加群のなす圏は余核を持たない！なぜなら $2$ 倍写像 $Z \to Z$ の余核 $Z / 2 Z$ は射影的でないからだ！」という議論は誤りです。なぜなら、 $Z / 2 Z$ は $Z$ 加群の圏での余核ですが、それとは別に独立して、小さい圏（有限生成射影加群の圏）の中で $2$ 倍写像の余核が存在する場合もありうるからです。実際、有限生成射影 $Z$ 加群のなす圏は余核を持ちます。