2019 JMO本選4番の複素平面を使った解法

問題は こちら です.

「三角形ABCの内心をI, 内接円をωとする. また, 辺BCの中点をMとする. 点Aを通り直線BCに垂直な直線と, 点Mを通り直線AIに垂直な直線の交点をKとするとき, 線分AKを直線とする円はωに接することを示せ. 」

初等で解くとかなり少ない手順で解けるらしいのですが, 今回は複素平面を使って解いていきたいと思います.

以下, 計算式中に大きな文字の$\mathrm{A}$や$\mathrm{B}$がでてきたとき, それをAの座標やBの座標という意味を表すことにします. また, 二点A, Bの距離を$\mathrm{AB}$と表すことにします.

まず, 問題文中で三角形と内接円が与えられ, なおかつ内心も出てくるということから, 内心を0, 内接円と辺の3つの接点をそれぞれ文字で置いて, A, B, C の座標を求めていくという解法が思いつきます.
(ここらへんのことは『獲得』に載っています. 調べてみましょう. )

ここではBC上, CA上, AB上の接点をそれぞれ$(a),(b),(c)$とおいて話を進めます. このときA, B, C の座標はそれぞれ
$$\left(\frac{2bc}{b+c}\right),\left(\frac{2ca}{c+a}\right),\left(\frac{2ab}{a+b}\right)$$ となります. このとき, Mの座標は
$$(\frac{2ca}{c+a}+\frac{2ab}{a+b})÷2=\frac{a(ac+ab+2bc)}{(a+c)(a+b)}$$
となることがすぐにわかります.

また, 点Kの座標を$(k)$とおくと, 条件から次のような二本の式が立ちます. ただし, 次の$\mathbb{R}i$は純虚数の集合を表します. (これは一般的な記法ではないので, 使用する際は必ず断ってから使いましょう. )
$$\frac{k-\mathrm{A}}{\mathrm{B}-\mathrm{C}}\in \mathbb{R}i⟺\frac{k-\frac{2bc}{b+c}}{\frac{2ca}{c+a}-\frac{2ab}{a+b}}\in \mathbb{R}i$$

$$\frac{k-\mathrm{M}}{\mathrm{A}-\mathrm{I}}\in \mathbb{R}i⟺\frac{k-\frac{a(ac+ab+2bc)}{(a+c)(a+b)}}{\frac{2bc}{b+c}-0}\in \mathbb{R}i$$
この計算を行うと,
$$k=\frac{2b^2{c}^2+2ab{c}^2+2a{b}^{2}c+a^2{c}^2+a^2{b}^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
が導かれます. これは複素計算の良い練習になるので, 一度やってみて損はないと思います.

これですべての頂点の座標が求まったので, あとは主張を導くだけです. 線分AKを直径とする円の方程式と$|z|=1$を連立して...とやってもよいのですが, ここでは問題文を少し言い換えて,
「AKの中点(AKを直径とする円の中心)と内心I(内接円ωの中心)の距離が, 二円の半径の差または和になればよい」
とします. これは円の性質からすぐわかることなので, 不安な人は確かめておきましょう.

これを実行するために, AKの中点をNとおいてその座標を求めます. この座標を$(n)$と置けば,
$$\begin{array}{rl}n& =(\frac{2bc}{b+c}+\frac{2b^2{c}^2+2ab{c}^2+2a{b}^{2}c+a^2{c}^2+a^2{b}^2}{(a+b)(b+c)(c+a)})\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }2\\ & =\frac{(2a+b+c{)}^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\end{array}$$
また, $|a|=|b|=|c|=1$に注意して$\overline{n}$を求めると
$$\overline{n}=\frac{{(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}^2}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})}=\frac{(2bc+ca+ab{)}^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$$
となります. ここから$\mathrm{NI}$(中心間距離)がわかり, これは$|n|=\sqrt{n\overline{n}}$であるから
$$|n|=\left|\frac{(2a+b+c)(2bc+ca+ab)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\right|$$
がわかりました. 同様に, 直径をAKとする円の半径, つまり$\mathrm{NA}$を求めたいですね. これは$|k-a|\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }2$で求められます.
$$\begin{array}{rl}k-a& =\frac{2b^2{c}^2+2ab{c}^2+2a{b}^{2}c+a^2{c}^2+a^2{b}^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{2bc}{b+c}\\ & =\frac{a^2(b-c{)}^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\ \overline{k-a}& =\frac{(b-c{)}^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\ \frac{|k-a|}{2}& =\left|\frac{a(b-c{)}^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\right|\end{array}$$
このとき, $|k-a|$は実数であるから,
$$x=\frac{a(b-c{)}^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$$
としたときの$x$は実数となります.
ここで,
$$\begin{array}{rl}\mathrm{NI}& =\left|\frac{(2a+b+c)(2bc+ca+ab)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\right|\\ & =|\frac{a(b-c{)}^2}{2(a+b)(b+c)(c+a)}+1|\\ & =|x+1|\end{array}$$
が導かれます. いま, AKを直径とする円の半径を$r_1$, ωの半径を$r_2$, 中心間距離を$s$とすれば,
$r_1=|x|,r_2=1,s=|x+1|$
と表せる. 先ほど述べた理由から,
「$r_1+r_2=s$または$|r_1-r_2|=s$」
を示せばよいことになります.
いま$x$は実数なので, 次のように場合分けをして考えます.
[1] $x<-1$のとき
$r_1=-x,s=-(x+1)$より前者が成り立つ.
[2] $-1\le x<0$のとき
$r_1=-x,s=x+1$より後者が成り立つ
[3] $0\le x$のとき
$r_1=x,s=x+1$より前者が成り立つ.

以上より, 題意が示されました

ここまで読んでいただきありがとうございました. 疑問点や不審な点、その他要望等がありましたら, コメントで教えていただけるとありがたいです.