自作問題No.25

問題

定数関数でない連続関数$f(x)$と定数$a$が${\displaystyle f(x)=a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(y)\cos (x-y)dy,f(0)=1}$を満たすとき、ありうる$a$の値とそれに対応する$f(x)$の組み合わせをすべて決定せよ。