∫ [0,π] x f(sinx) dx に関する定理

$$I={\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx(1)$$
とする．$x=\pi -t$で置換すると，
$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{\pi }^0(\pi -t)f(\sin (\pi -t))\frac{dt}{dx}dx\\ & ={\int }_{\pi }^0(\pi -t)f(\sin t)(-1)dt\\ & ={\int }_0^{\pi }(\pi -t)f(\sin t)dt\\ & ={\int }_0^{\pi }(\pi -x)f(\sin x)dx.(2)\end{array}$$
(1)と(2)を辺々足し合わせる事によって，
$$\begin{array}{rl}2I& ={\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx+{\int }_0^{\pi }(\pi -x)f(\sin x)dx\\ & ={\int }_0^{\pi }\{xf(\sin x)dx+(\pi -x)f(\sin x)\}dx\\ & ={\int }_0^{\pi }\pi f(\sin x)dx\\ & =\pi {\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx\\ I& =\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx.\end{array}$$
よって定理は示された．