∫ [0,π] x f(sinx) dx に関する定理

$$ I=\int_0^\pi x f(\sin x)\,dx \qquad (1) $$
とする．$x=\pi-t$で置換すると，
\begin{aligned} I &=\int_\pi^0 (\pi - t) f(\sin(\pi - t))\,{dt \over dx}\,dx \\ &=\int_\pi^0 (\pi - t) f(\sin t) (-1)\,dt \\ &=\int_0^\pi (\pi - t) f(\sin t)\,dt \\ &=\int_0^\pi (\pi - x) f(\sin x)\,dx. \qquad (2) \end{aligned}
(1)と(2)を辺々足し合わせる事によって，
\begin{aligned} 2I &=\int_0^\pi x f(\sin x)\,dx + \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin x)\,dx \\ &=\int_0^\pi \{x f(\sin x)\,dx + (\pi - x) f(\sin x)\}\,dx \\ &=\int_0^\pi \pi f(\sin x)\,dx \\ &=\pi \int_0^\pi f(\sin x)\,dx \\ I &={\pi \over 2} \int_0^\pi f(\sin x)\,dx. \end{aligned}
よって定理は示された．