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∫ [0,π] x f(sinx) dx に関する定理

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$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} $$

自分用や他人への説明用に書きました.

$$ \int_0^\pi x f(\sin x)\,dx={\pi \over 2}\int_0^\pi f(\sin x)\,dx $$

$$ I=\int_0^\pi x f(\sin x)\,dx \qquad (1) $$
とする.$x=\pi-t$で置換すると,
\begin{aligned} I &=\int_\pi^0 (\pi - t) f(\sin(\pi - t))\,{dt \over dx}\,dx \\ &=\int_\pi^0 (\pi - t) f(\sin t) (-1)\,dt \\ &=\int_0^\pi (\pi - t) f(\sin t)\,dt \\ &=\int_0^\pi (\pi - x) f(\sin x)\,dx. \qquad (2) \end{aligned}
(1)と(2)を辺々足し合わせる事によって,
\begin{aligned} 2I &=\int_0^\pi x f(\sin x)\,dx + \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin x)\,dx \\ &=\int_0^\pi \{x f(\sin x)\,dx + (\pi - x) f(\sin x)\}\,dx \\ &=\int_0^\pi \pi f(\sin x)\,dx \\ &=\pi \int_0^\pi f(\sin x)\,dx \\ I &={\pi \over 2} \int_0^\pi f(\sin x)\,dx. \end{aligned}
よって定理は示された.

投稿日:202161

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がーと
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Mathlog の記事のレベルが高すぎるのでレベルを下げる活動をしています(適当)

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