自作問題No.27

問題

4次関数のグラフ$C:y=f(x)$は2つの変曲点$\mathrm{P},\mathrm{Q}$をもち、1本の複接線が引けて、異なる2点$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha )),\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))$が接点となる。また$f(x)$の4次の係数は1である。このとき、${\displaystyle \frac{d^3}{d{x}^3}f(x)=0}$の解を$x=\gamma$、$\mathrm{C}(\gamma ,f(\gamma ))$、複接線を$l_1$、直線$\mathrm{PQ}$を$l_2$、$C$上の点$\mathrm{C}$における接線を$l_3$、$l_2$と$C$の交点のうち$\mathrm{P},\mathrm{Q}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{R},\mathrm{S}$、$l_3$と$C$の交点のうち$\mathrm{C}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{D},\mathrm{E}$とおく。ただし$x$座標について、$\mathrm{A}$より$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$より$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$より$\mathrm{S}$、$\mathrm{D}$より$\mathrm{E}$の方が大きいとする。

(1)直線$l_1,l_2,l_3$は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比${\mathrm{AB}}^2:{\mathrm{PQ}}^2$を求めよ。

(3)線分長の2乗比${\mathrm{RS}}^2:{\mathrm{DE}}^2$を求めよ。

(4)直線$l_2$と$C$で囲まれる部分の面積$S$を$\alpha ,\beta$で表わせ。