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難角問題の新手法(連立法)

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 こんにちは、simasimaです。
 今回は難角問題を半分くらい倒せる新たな手法、連立法を思いついたので紹介しようと思います。

今回の方法は厳密ではないので証明には使えません。答えが出るだけです。

手法

 手法はいたってシンプルです。(私の前に誰か思いついてそう...)

  1. 与えられている角を x,y,... という風に文字で置く。すると答えの角は実数 p,q,r...を用いて px+qy+r のように表される。(事が多い。)
  2. 問題の与えられた角以外の条件を満たすような極端な図を書き、x,y,... と答えの角を求める。するとap+bq+r=c といった形の式が立つ。
  3. 2を繰り返すと、p,q,r... についての連立方程式が作れるので、これを解いて、p,q,r,...を求める。
  4. 与えられている角を px+qy+r に代入するとそれが答え。(の事が多い。)

 この方法は与えられている角度が全て 1220 の倍数の時は使えない事が多いですが、逆にそれ以外の時はかなり使えます。

実際に使ってみよう

 今回はJMO2023予選の問10を解いていきます。JMO予選は答えのみなので本番でもこの手法が使えますね。

JMO2023予選 問10

 鋭角三角形ABCがあり、Aから辺BCにおろした垂線の足をD、辺ACの中点をMとする。線分BM上に点Pを、PAM=MBAをみたすようにとる。BAP=41PDB=115のとき、BACの大きさを求めよ。


与えられている角がある程度汚いので、連立法が使えそうです。
BAP=xPDB=yとおきます。
BACは、x,yの値によらず、実数p,q,rを用いて(px+qy+r)の形で表せます。(多分)
p,q,rの値を求めに行きましょう。

まず、三角形ABCを勝手に正三角形にしてみます。
作図適当なの許して 作図適当なの許して
この時BMが垂線になり、いろいろ扱いやすくなりました。
この時、BAP=30PDB=90BAC=60なので、次の式が成り立ちます。

1つめの式

30p+90q+r=60

AB=BC の場合をもう一つ考えてみましょう。ABC=40とします。

この時、BAP=50PDB=90BAC=70なので、次の式が成り立ちます。

2つめの式

50p+90q+r=70

AB=BC の場合をこれ以上考えても90q+rの部分が分からないので別の図を考えます。
Pをいい位置に持って行くために三角形BAMを直角二等辺三角形にしてみます。

この時、4A,P,B,Dが明らかに共円です。
この時、BAP=45PDB=135BAC=90なので、次の式が成り立ちます。

3つめの式

45p+135q+r=90

さて、3つの式が立ったのでp,q,rを求めてみましょう。

ゲットした式たち

30p+90q+r=60
50p+90q+r=70
45p+135q+r=90

p=12,q=12,r=0と求まりました。
後は問題の数値を入れるだけです。12×41+12×115+0=78
これは正解の値です。
なんとJMO予選の10番を本質部分に何も触れずに解くことが出来てしまいました。

応用

この問題では与えられた角度が41,115と、どちらも汚い値でしたが、他の問題で、例えば与えられた角度が60,115だったらどうすれば良いでしょうか。この場合は60は残して、115を文字で置くと多分上手くいきます。また、が57,63だったらどうでしょうか。これは、57+63=120が見えるので、x,120xという風に置けば良いです。

この手法はこの問題以外にも沢山の問題で通用することをすでに確認しています。この記事が伸びたら他の問題を解いてみる応用編を書くかもしれないので、書いて欲しいと思った人はこの記事に高評価とかもろもろをお願いします。なんなら、連立法を使ってこの問題解いてみた!みたいな記事を私以外の人間が書いてくれると嬉しいです。(他力本願)

投稿日:2023514
OptHub AI Competition

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投稿者

simasima
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