三目並べの必勝法

子どもの頃やったことあると思います。

○×ゲームともいいます。

英語名はtic-tac-toeです。

というわけで、○×ゲームの必勝法をまとめました。

必勝法などない

「おい！必勝法って言っただろ！」と言う人がいるかもしれませんが、必勝法があるとは一言も言っていません。

騙してしまったようですみません。

「場合分け」の考え方が理解できていれば誰でも証明できます。

以下、先手を$○$、後手を$\times$とし、右隣に打った順番を書きます。

記載ルール

$$ルール1 回転すると同じになる盤面は省略する$$
例えば、最初に右上に$○$を打った場合、左に90°回転すると左上に打ったものと
同じとみなすことができます。
同じように左下、右下に打った場合も、盤を回せば左上に打ったものと同じとみなせるので、考えるのは左上の場合だけにします。

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 2& \\ ○3& ○5& \\ \times 4& & \end{array}\right)\end{array}$ ⇔ $\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}& & \\ \times 2& ○5& \\ ○1& ○3& \times 4\end{array}\right)\end{array}$
同じとみなせる　

$$ルール2 対照的な盤面は省略する$$
例えば、左上に$○$を打ち、上に$\times$を打ったとします。
このとき、盤を左上、真ん中、右下を通る対象軸とする線対称と考えると、左に$\times$を打ったときと同じとみなせるので、左に打ったパターンは省略します。

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 2& \\ ○3& ○5& \\ \times 4& & \end{array}\right)\end{array}$ ⇔ $\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& ○3& \times 4\\ \times 2& ○5& \\ & & \end{array}\right)\end{array}$
同じとみなせる　

左上に$○$を打った場合

$\times$が真ん中以外に置いた場合は$○$は必ず勝つので、$○$の勝率は少なくとも$\frac{4}{5}$以上はあります。

考え方も簡単なので、おススメです。

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \\ & & \\ & & \end{array}\right)\end{array}$

１．上に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 2& \\ \times 4& ○5& \\ ○3& & \end{array}\right)\end{array}$

右上と左下のダブルリーチで$○$の勝ちです。

２，右上に$\times$を打った場合
（ルール2から、左下に打ったパターンは省略）
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \times 2\\ \times 4& & \\ ○3& & ○5\end{array}\right)\end{array}$

真ん中と下のダブルリーチで$○$の勝ちです。

こちらでも$○$の勝ちです。
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \times 2\\ ○3& ○5& \\ \times 4& & \end{array}\right)\end{array}$

３．右に$\times$を打った場合
（ルール2から、下に打ったパターンは省略）
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \\ \times 4& ○5& \times 2\\ ○3& & \end{array}\right)\end{array}$

右上、右下のダブルリーチで$○$の勝ちです。

こちらでも$○$の勝ちです。
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & ○5\\ & ○3& \times 2\\ & & \times 4\end{array}\right)\end{array}$

４．右下に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& ○3\\ & & \\ ○5& & \times 2\end{array}\right)\end{array}$

左と真ん中のダブルリーチで$○$の勝ちです。

１．～４．から、先手が左上に打ったとき
後手は上、右上、真ん中、右、右下のうち、真ん中以外に置くと負けるので
先手が左上に打った場合の勝率は$\frac{4}{5}$です。

真ん中に$\times$を打った場合

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \\ & \times 2& \\ & & \end{array}\right)\end{array}$

１．上に$○$を打った場合
（ルール2から、左に打ったパターンは省略）
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& ○3& \times 4\\ \times 6& \times 2& ○7\\ ○5& & \end{array}\right)\end{array}$

どちらに$\times$を打っても引き分けです。

２．右上に$○$を打った場合
（ルール2から、左下に打ったパターンは省略）
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& ○3\\ & \times 2& \\ & ○5& \end{array}\right)\end{array}$

どちらかがリーチとなった場合、もう一方がリーチを阻止することで引き分けです。

３．右に$○$を打った場合
（ルール2から、下に打ったパターンは省略）
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \\ & \times 2& ○3\\ & & \end{array}\right)\end{array}$

３－１．上に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& \\ & \times 2& ○3\\ & ○5& \end{array}\right)\end{array}$

３－１－１．右上に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& \times 6\\ & \times 2& ○3\\ ○7& ○5& \end{array}\right)\end{array}$

左と右下のダブルリーチで$○$の勝ちです。

３－１－２．左に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& \\ \times 6& \times 2& ○3\\ & ○5& ○7\end{array}\right)\end{array}$

左下と右上のダブルリーチで$○$の勝ちです。

３－１－３．左下に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& ○7\\ ○9& \times 2& ○3\\ \times 6& ○5& \times 8\end{array}\right)\end{array}$

引き分けです。

３－１－４．右下に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& \\ & \times 2& ○3\\ & ○5& \times 6\end{array}\right)\end{array}$

どちらかがリーチとなった場合、もう一方がリーチを阻止することで引き分けです。

３－２．右上に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \times 4\\ \times 6& \times 2& ○3\\ ○5& & \end{array}\right)\end{array}$

どちらかがリーチとなった場合、もう一方がリーチを阻止することで引き分けです。

３－３．左に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & ○5\\ \times 4& \times 2& ○3\\ & & \end{array}\right)\end{array}$

上、右下のダブルリーチで$○$の勝ちです。

３－４．左下に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & ○5\\ & \times 2& ○3\\ \times 4& & \end{array}\right)\end{array}$

上、右下のダブルリーチで$○$の勝ちです。

３－５．下に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& ○5& \times 6\\ \times 8& \times 2& ○3\\ ○7& \times 4& ○9\end{array}\right)\end{array}$

引き分けです。

３－６．右下に$\times$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \\ & \times 2& ○3\\ & & \times 4\end{array}\right)\end{array}$

左に$○$を打った場合、左下に$\times$を打つと、$\times$のダブルリーチで$\times$の勝ちです。
左以外に打った場合、リーチを阻止すれば引き分けです。

４．右下に$○$を打った場合
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \\ & \times 2& \\ & & ○3\end{array}\right)\end{array}$

４－１．上に$\times$を打った場合
（ルール1から、下に打ったパターンは省略
また、ルール2から、左に打ったパターンは省略）
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& \times 4& ○7\\ ○9& \times 2& \times 8\\ \times 6& ○5& ○3\end{array}\right)\end{array}$

引き分けです。

４－２．右上に$\times$を打った場合
（ルール1から、左下に打ったパターンは省略）
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}○1& & \times 4\\ & \times 2& \\ ○5& & ○3\end{array}\right)\end{array}$

左、下のダブルリーチで$○$の勝ちです。

１．～４．から、$\times$は引き分けに持ち込む手が必ず存在します。

せっかくなので、$\times$がランダムに打った場合の$○$の勝率を計算します。

$\times$が真ん中に打った場合の$○$の勝率は

$３．の勝率+４．の勝率$
$=(\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6})+(\frac{1}{4}\times \frac{1}{2})$
$=\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{2}(1+2+2+6)$
$=\frac{11}{48}$

$\times$が真ん中以外に打った場合も加算すると、$○$が左上に打ったときの勝率は
$\frac{4}{5}+\frac{11}{48}$
$=\frac{203}{240}$

これは、初手で$○$を上に打ったときや、真ん中に打った時よりも高いです。

上に$○$を打った場合

省略しますが、後手は真ん中に打つことで引き分けにできます。

注意すべき盤面だけ紹介します。
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}& ○1& \\ ○3& \times 2& \\ & & \end{array}\right)\end{array}$

$○$は左上に打つとダブルリーチなので、$\times$はそれを阻止します。

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}& ○1& \\ & \times 2& \\ ○3& & \end{array}\right)\end{array}$

$○$は左上に打つとダブルリーチなので、$\times$はそれを阻止します。

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}\times 4& ○1& \\ & \times 2& \\ \times 6& ○3& ○5\end{array}\right)\end{array}$

左、右上のダブルリーチです。$\times$の勝ちです。

$○$を真ん中に打った場合

$\times$のターンの後、$○$は$\times$の反対側を除くと必ずリーチができるので、$\times$はリーチを阻止していけば引き分けに持ち込めます。

例：$○$は右下以外は全てリーチとなる
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}\times 2& & \\ & ○1& \\ & & \end{array}\right)\end{array}$

$\times$の反対側に$○$を打った場合は、ダブルリーチになる可能性があるので気を付けましょう。

例：ダブルリーチ予備軍
$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}\times 2& & \\ & ○1& \\ & & ○3\end{array}\right)\end{array}$

まとめ

・○×ゲームの先手の方針

1. 四隅のいずれかに打つ
2. 相手が真ん中以外に打った場合は勝ち
3. 相手が真ん中に打った場合は、1.の反対側に打つ
   相手の動きによっては$\frac{1}{8}$の確率で勝てるが、最善手を打たれると引き分けとなる

・○×ゲームの後手の方針

1. 真ん中が空いていたら真ん中に打つ
2. 相手がダブルリーチにならないように打つ

・もちろん、先手でも後手でも相手がリーチをして来たら阻止し、相手がミスをしてこちらが勝てる場合は勝ちに行きます。