2,3,9,4,8,5,10の倍数判定の証明
以下
$$N,a_{i} \in \mathbb{N}, N = \sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i} （0 \le a_{i} \le 9）$$
とします。
2の倍数、偶数
一の位が偶数なら偶数です。
例：8952 ⇒ 一の位が偶数なので偶数
50719475 ⇒ 一の位が偶数でないので偶数でない
13515700139475047690679767134905047191 ⇒ 一の位が偶数でないので偶数でない
一の位が偶数なので、$a_{0} = 2k$とすると
$$N = \sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= 2k + \sum_{i=1}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= 2(k+\sum_{i=1}^{n} 5^{i}・a_{i})$$
$$∴a_{0}=2k ⇒ Nは偶数$$
3の倍数
全ての位を足すと3の倍数ならば3の倍数です。
例：895 ⇒ 8+9+5=22 22は3の倍数でないので、895は3の倍数でない
4395 ⇒ 4+3+9+5=21 21は3の倍数なので、4395は3の倍数
全ての位を足したものが3の倍数とすると
$$\sum_{i=0}^{n}a_{i} = 3k$$
$$N = \sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= (\sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i} - a_{i}) + \sum_{i=0}^{n}a_{i}$$
$$= \sum_{i=1}^{n}(10^{i}-1)・a_{i} + 3k$$
$$= \sum_{i=1}^{n}(10-1)(10^{i-1}+...+1)・a_{i} + 3k$$
$$= 9 \sum_{i=1}^{n}(10^{i-1}+...+1)・a_{i} + 3k$$
$$= 3 \lbrace 3\sum_{i=1}^{n}(10^{i-1}+...+1)・a_{i} + k \rbrace$$
$$∴\sum_{i=0}^{n}a_{i} = 3k ⇒ Nは3の倍数$$
9の倍数
全ての位を足すと9の倍数ならば9の倍数です。
例：5428 ⇒ 5+4+2+8=19 19は9の倍数でないので、5428は9の倍数でない
7956 ⇒ 7+9+5+6=27 27は9の倍数なので、7956は9の倍数
全ての位を足したものが9の倍数とすると
$$\sum_{i=0}^{n}a_{i} = 9k$$
$$3の倍数のときと同様に$$
$$N = \sum_{i=1}^{n}(10-1)(10^{i-1}+...+1)・a_{i} + 9k$$
$$= 9 \sum_{i=1}^{n}(10^{i-1}+...+1)・a_{i} + 9k$$
$$= 9 \lbrace \sum_{i=1}^{n}(10^{i-1}+...+1)・a_{i} + k \rbrace$$
$$∴\sum_{i=0}^{n}a_{i} = 9k ⇒ Nは9の倍数$$
4の倍数
最初の二桁が4の倍数ならば4の倍数です。
例：15135 ⇒ 35は4の倍数でないので、15135は4の倍数でない
15124 ⇒ 24は4の倍数なので、15124は4の倍数
$$最初の二桁を4の倍数とすると$$
$$10・a_{1} + a_{0} = 4k$$
$$N = \sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= \sum_{i=2}^{n} 10^{i}・a_{i} + (10・a_{1} + a_{0})$$
$$= \sum_{i=0}^{n} 100・10^{i}・a_{i} + 4k$$
$$= 4(\sum_{i=0}^{n} 25・10^{i}・a_{i} + k)$$
$$∴10・a_{1} + a_{0} = 4k ⇒ Nは4の倍数$$
8の倍数
最初の三桁が8の倍数ならば8の倍数です。
例：15135 ⇒ 135は8の倍数でないので、15135は8の倍数でない
15128 ⇒ 128は8の倍数なので、15128は8の倍数
$$最初の三桁を8の倍数とすると$$
$$100・a_{2} + 10・a_{1} + a_{0} = 8k$$
$$4の倍数のときと同様に$$
$$N = \sum_{i=3}^{n} 10^{i}・a_{i} + (100・a_{2} + 10・a_{1} + a_{0})$$
$$= \sum_{i=0}^{n} 1000・10^{i}・a_{i} + 8k$$
$$= 8(\sum_{i=0}^{n} 125・10^{i}・a_{i} + k)$$
$$∴100・a_{2} + 10・a_{1} + a_{0} = 8k ⇒ Nは8の倍数$$
5の倍数
一の位が5か0なら5の倍数です。
例：8973841 ⇒ 一の位が5でも0でもないので8973841は5の倍数ではないです。
38990 ⇒ 一の位が0なので38990は5の倍数です。
84315 ⇒ 一の位が5なので84315は5の倍数です。
$$(1)一の位を5とする$$
$$a_{0} = 5$$
$$N = \sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= \sum_{i=1}^{n} 10^{i}・a_{i} + a_{0}$$
$$= \sum_{i=0}^{n} 10・10^{i}・a_{i} + 5$$
$$= 5(\sum_{i=0}^{n} 2・10^{i}・a_{i} + 1)$$
$$(2)一の位を0とする$$
$$a_{0} = 0$$
$$N = \sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= \sum_{i=1}^{n} 10^{i}・a_{i} + a_{0}$$
$$= \sum_{i=0}^{n} 10・10^{i}・a_{i}$$
$$= 5(\sum_{i=0}^{n} 2・10^{i}・a_{i} + 1)$$
$$∴a_{0} = 0 or 5 ⇒ Nは5の倍数$$
$10^{n}$の倍数
一の位から左へ向かってn個目までのすべてが0なら$10^{n}$の倍数です。。
例：764654564 ⇒ 一の位が0でないので764654564は$10^{n}$の倍数ではないです。
797808120 ⇒ 一の位が0なので、797808120は10の倍数です。
132551000 ⇒ 一の位から左に3個目まですべてが0なので、132551000は1000の倍数です。また、100の倍数でもあり、10の倍数でもあります。
$$a_{0}=a_{1}=...=a_{k}=0 (k \le n)とする$$
$$N = \sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= \sum_{i=k}^{n} 10^{i}・a_{i} + \sum_{i=0}^{k} 10^{i}・a_{i}$$
$$= \sum_{i=k}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$= \sum_{i=0}^{n} 10^{k}・10^{i}・a_{i}$$
$$= 10^{k}\sum_{i=0}^{n} 10^{i}・a_{i}$$
$$∴a_{0}=a_{1}=...=a_{k}=0 ⇒ Nは10^{k}の倍数$$
