【スウガクって、何の役に立ちますか？】プールの水を全部抜く

本を読んだ内容を少し紹介します。

多数決なのに「多数の意見ではない」？

例えば、A、B、Cの選択肢から、一番好きな物と一番嫌いな物を7人で多数決をとる場合、以下のようになったとします。

$$好 A：3人、B：2人、C：2人$$
$$嫌 A：4人、B：1人、C：2人$$

一番好きな物でB、Cの票に入れていた4人が全員が、一番嫌いな物でAに入れています。

日常では、例えば選挙のときに使われます。
Aには絶対に入れたくないという人がB、Cに散り
Aに当選するパターンもあります。

聴きたいCDを素早く取り出すには

これは僕も使っています。

iPodで「お気に入り」というプレイリストを作っているのですが、曲の順番がプレイリストに追加した順になってしまうんですね。

追加した順番は覚えていないので、一番上から探す羽目になるのですが、ここで使うのが並び替えです。

あるルールに従って並び変えると、探す時間が省けて便利です。

例えば、CDがたくさん並んでいる棚から、聞きたいCDを1つ取り出す場面を想定します。

CDの枚数をn枚とすると、上から順番に探した場合、聞きたいCDが見つかるまで探すと、最大でn回取り出す必要があります。

一番最後に聞きたいCDがあった場合に取り出す回数が最大になります。

しかし、並び替えを行うことで、この取り出す回数を少なくすることができます。

例えば、曲名を50音順に並び変えると、CDを一つ取り出したときに、そのCDが聞きたいCDではないなら、聞きたいCDはそのCDよりも前にあるか後ろにあるかが分かるはずです。

ここで「CD群の中から真ん中のCDを取り出し、そのCDよりも前にあれば前半分、後にあれば後半分の真ん中を探す」という作業を繰り返すと、最長でも$lo{g}_{2}n$回取り出すだけで済みます。

CDが全部で64枚あったとすると、最初に真ん中を取ると32枚まで絞り込めます。
その32枚の中の真ん中を取ると、16枚に絞り込めます。
16枚、8枚、4枚、2枚と絞っていき、最終的に1枚に残ります。
この時取り出した回数は$lo{g}_{2}64=6(回)$です。

これを二分探索法と言い、コンピュータの世界でかなり使われている手法です。
使ってみて下さい。

プールの水抜きはいつ終わる？

中学生までの知識だと、一次関数を使います。

水深を$y$、水を抜いてから経過した時間を$x$とすると
$$y=-10x+100 (y>0)$$
となり、$10$時間で水深が$0$cmとなります。

しかし、実際にやってるとそうはいきません。
より正確に予測するには、物理や微分積分の知識が必要です。

深さ$xcm$のとき、排水溝から流れる水の速さは$\sqrt{x}$に比例するので、水位を$10cm$ごとに分け、それぞれの位置で速さを割り出し、$10cm$減る時間をすべて合計しています。

水がすべて抜ける時間は
$1.0+1.1+...+4.4=17.5時間$

これは、区切れば区切るほど正確です。

書籍では、ここまでしか紹介されていないので、詳しく調べてみました。

プールの水を全部抜く

以下の条件を設定します。

すると、以下の方程式を得ます。

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}V=Sy ・・・\mathrm{①}\\ \frac{dV}{dx}=-\mu v ・・・\mathrm{②}\\ \frac{1}{2}{v}^2=gy ・・・\mathrm{③}\end{array}\end{array}$

③の理由は、運動量保存の法則から
$$(排水溝へ流れる水のエネルギー)=(位置エネルギー)$$
$$\frac{1}{2}m{v}^2=mgy$$
$$\frac{1}{2}{v}^2=gy$$

①、②から
$$\frac{dV}{dx}=\frac{dV}{dy}・\frac{dy}{dx}=S・\frac{dy}{dx}=-\mu v$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\mu v}{S}$$

③と、$v>0$から
$$v=\sqrt{2gy}$$

よって
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\mu \sqrt{2gy}}{S}$$

$t=\sqrt{y}$とおくと
$$\frac{dt}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$$

$$\frac{dt}{dx}=\frac{dt}{dy}・\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{y}}・(-\frac{\mu \sqrt{2gy}}{S})=-\frac{\mu \sqrt{g}}{\sqrt{2}S}$$
よって
$$\frac{d}{dx}\sqrt{y}=-\frac{\mu \sqrt{g}}{\sqrt{2}S}$$

$$\therefore \sqrt{y}=-\frac{\mu \sqrt{g}}{\sqrt{2}S}x+\sqrt{y_0} (y_0：最初の水の高さ)$$

このことから、深さ$ycm$のとき、排水溝から流れる水の速さは$\sqrt{y}$に比例することがわかります。

以下、$a=-\frac{\mu \sqrt{g}}{\sqrt{2}S}$とおきます。

$$y=(ax+\sqrt{y_0}{)}^2$$

$y_0=100$より

$$y=(ax+10{)}^2$$

$(x,y)=(1,90)$より
$$90=(a+10{)}^2$$
$$\pm \sqrt{90}=a+10$$
$$a=-10\pm \sqrt{90}$$
$0<\sqrt{y}=ax+10$より
$$a=-10+\sqrt{90}$$

$$y=(ax+10{)}^2=a^2(x+\frac{10}{a}{)}^2$$

$$y=0\Rightarrow x=-\frac{10}{a}$$
$$x=-\frac{10}{a}$$
$$=-\frac{10}{-10+\sqrt{90}}$$
$$=-\frac{10(-10-\sqrt{90})}{(-10+\sqrt{90})(-10-\sqrt{90})}$$
$$=\frac{10(10+\sqrt{90})}{100-90}$$
$$=\frac{10(10+\sqrt{90})}{10}$$
$$=10+\sqrt{90}$$
$\sqrt{90}$は、$9$と$10$の真ん中くらいなので、$19.5$時間くらいだと予想されます。
($90.25={9.5}^2$)

一次関数で計算した場合は$10$時間だったので、結構ずれが大きいということが分かります。差は約2倍ですからね？

ちなみに、自動で抜く場合は問題ないですが、ずっと監視する必要があるとしたら残業確定ですよね？

その他

その他にも、「TVより映画の方が迫力があるのはなんで？」「電車で一番揺れない席は？」「海岸線は長さがわからない？」など、色々な内容が入っています。

計算というよりは、読み物として面白かったので、読んでみて下さい。