自作問題No.29

問題

$xy$平面上において、媒介変数表示${\displaystyle (x,y)=({\cos }^3\theta ,{\sin }^3\theta )(0\le \theta \le \frac{\pi }{2})}$で表される曲線を$C$とし、曲線$C$上の点を${\displaystyle {\mathrm{P}}_t{\displaystyle ({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)(0\le t\le \frac{\pi }{2})}}$、点${\mathrm{P}}_t$における曲線$C$の接線を$l_t$、直線$l_t$と$x$軸の交点を${\mathrm{Q}}_t$とおく。また、曲線$C$が$x$軸に接しながら滑らずに、$x$軸負方向に向かって回転するとき、点${\mathrm{P}}_0$の描く軌跡を$T$とする。ただし${\mathrm{Q}}_0(1,0),{\mathrm{Q}}_{\frac{\pi }{2}}(0,0)$であり、点${\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_{\frac{\pi }{2}}$は曲線$C$上に固定されて回転し、点${\mathrm{P}}_{\frac{\pi }{2}}$が$x$軸と接したとき、回転が止まるものとする。

(1)点${\mathrm{Q}}_t$の座標を$t$を用いて表せ。

(2)曲線$C$のうち、$0\le \theta \le t$に対応する部分の長さ$L_t$を$t$を用いて表せ。

(3)軌跡$T$の方程式を媒介変数表示で求めよ。

(4)軌跡$T$、$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$、$x$軸によって囲まれる図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ。