自作問題No.29

問題

$xy$平面上において、媒介変数表示$\displaystyle(x,y)=(\cos^3\theta,\sin^3\theta)\ \ \left(0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\right)$で表される曲線を$C$とし、曲線$C$上の点を$\displaystyle\mathrm{P}_t\displaystyle(\cos^3t,\sin^3t)\ \ \left(0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\right)$、点$\mathrm{P}_t$における曲線$C$の接線を$l_t$、直線$l_t$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_t$とおく。また、曲線$C$が$x$軸に接しながら滑らずに、$x$軸負方向に向かって回転するとき、点$\mathrm{P}_0$の描く軌跡を$T$とする。ただし$\mathrm{Q}_0(1,0),\mathrm{Q}_{\frac{\pi}{2}}(0,0)$であり、点$\mathrm{P}_0,\mathrm{P}_{\frac{\pi}{2}}$は曲線$C$上に固定されて回転し、点$\mathrm{P}_{\frac{\pi}{2}}$が$x$軸と接したとき、回転が止まるものとする。

(1)点$\mathrm{Q}_t$の座標を$t$を用いて表せ。

(2)曲線$C$のうち、$0\leq \theta\leq t$に対応する部分の長さ$L_t$を$t$を用いて表せ。

(3)軌跡$T$の方程式を媒介変数表示で求めよ。

(4)軌跡$T$、$x=\displaystyle\frac{1}{2}$、$x$軸によって囲まれる図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ。