この記事はTwitterの ポテト一郎( @potetoichiro ) さんのツイート「 【話題】1=1を証明して下さい! 」への応募作品として作った記事です。ネタ要素が強いのでそのつもりでご笑覧いただければと思います。
まず、cosx をマクローリン展開します。
cosx=1−x22!+x44!−x66!+x88!∓⋯
x を x+2π に置換すると
cos(x+2π)=1−(x+2π)22!+(x+2π)44!−(x+2π)66!+(x+2π)88!∓⋯
cosx=cos(x+2π)であるから
1−x22!+x44!−x66!+x88!∓⋯=1−(x+2π)22!+(x+2π)44!−(x+2π)66!+(x+2π)88!∓⋯
この式の両辺の同じ次数の係数を比較することで、次のようにいろいろな無限級数が得られます。
1 次の項の係数を比較すると
0=−(21)2π2!+(41)(2π)34!−(61)(2π)56!+(81)(2π)78!∓⋯∴0=2π1!−(2π)33!+(2π)55!−(2π)77!±⋯
2 次の項の係数を比較すると
−12!=−(22)(2π)02!+(42)(2π)24!−(62)(2π)46!+(82)(2π)68!∓⋯∴1=1−(2π)22!+(2π)44!−(2π)66!±⋯
0 次の項の係数を比較すると
1=1−(2π)22!+(2π)44!−(2π)66!+(2π)88!∓⋯
この式の右辺は先ほど「2 次の項の係数比較」で得られた式と同じですから 1 に等しくなります。
∴1=1
無限級数を作るのと同じ方法で 1=1 が得られました!
人によっては「自明だな」と思われたかもしれません。しかし、こんなふうに三角関数のマクローリン展開の x を x+π や x−π や −x などに置き換えて符号を合わせて係数比較して遊んでみると、変形したはずなのに元に戻ったり、よく見る式になったりして楽しいですので、いろいろ遊んでみてはどうでしょうか。
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