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円周率を含む無限級数と「1=1」の証明

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はじめに

この記事はTwitterの ポテト一郎( @potetoichiro ) さんのツイート「 【話題】1=1を証明して下さい! 」への応募作品として作った記事です。ネタ要素が強いのでそのつもりでご笑覧いただければと思います。

cosx をマクローリン展開する

まず、cosx をマクローリン展開します。

cosx=1x22!+x44!x66!+x88!

xx+2π に置換すると

cos(x+2π)=1(x+2π)22!+(x+2π)44!(x+2π)66!+(x+2π)88!

cosx=cos(x+2π)であるから

1x22!+x44!x66!+x88!=1(x+2π)22!+(x+2π)44!(x+2π)66!+(x+2π)88!

この式の両辺の同じ次数の係数を比較することで、次のようにいろいろな無限級数が得られます。

1 次の項の係数比較

1 次の項の係数を比較すると

0=(21)2π2!+(41)(2π)34!(61)(2π)56!+(81)(2π)78!
0=2π1!(2π)33!+(2π)55!(2π)77!±

2 次の項の係数比較

2 次の項の係数を比較すると

12!=(22)(2π)02!+(42)(2π)24!(62)(2π)46!+(82)(2π)68!
1=1(2π)22!+(2π)44!(2π)66!±

0 次の項の係数比較

0 次の項の係数を比較すると

1=1(2π)22!+(2π)44!(2π)66!+(2π)88!

この式の右辺は先ほど「2 次の項の係数比較」で得られた式と同じですから 1 に等しくなります。

1=1

無限級数を作るのと同じ方法で 1=1 が得られました!

おわりに

人によっては「自明だな」と思われたかもしれません。
しかし、こんなふうに三角関数のマクローリン展開の xx+πxπx などに置き換えて符号を合わせて係数比較して遊んでみると、変形したはずなのに元に戻ったり、よく見る式になったりして楽しいですので、いろいろ遊んでみてはどうでしょうか。

投稿日:2021719
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apu_yokai
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