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円周率を含む無限級数と「1=1」の証明

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はじめに

この記事はTwitterの ポテト一郎( @potetoichiro ) さんのツイート「 【話題】1=1を証明して下さい! 」への応募作品として作った記事です。ネタ要素が強いのでそのつもりでご笑覧いただければと思います。

$\cos x$ をマクローリン展開する

まず、$\cos x$ をマクローリン展開します。

${\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}\mp\cdots }$

$x$$x+2\pi$ に置換すると

${\displaystyle \cos(x + 2\pi)=1-\frac{(x + 2\pi)^2}{2!}+\frac{(x + 2\pi)^4}{4!}-\frac{(x + 2\pi)^6}{6!}+\frac{(x + 2\pi)^8}{8!}\mp\cdots }$

$\cos x=\cos(x + 2\pi)$であるから

${\displaystyle 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}\mp\cdots\\ \,\,=1-\frac{(x + 2\pi)^2}{2!}+\frac{(x + 2\pi)^4}{4!}-\frac{(x + 2\pi)^6}{6!}+\frac{(x + 2\pi)^8}{8!}\mp\cdots }$

この式の両辺の同じ次数の係数を比較することで、次のようにいろいろな無限級数が得られます。

$1$ 次の項の係数比較

$1$ 次の項の係数を比較すると

${\displaystyle 0=-\frac{{2 \choose 1}2\pi}{2!}+\frac{{4 \choose 1}(2\pi)^3}{4!} -\frac{{6 \choose 1}(2\pi)^5}{6!}+\frac{{8 \choose 1}(2\pi)^7}{8!} \mp\cdots }$
${\displaystyle \therefore 0=\frac{2\pi}{1!}-\frac{(2\pi)^3}{3!} +\frac{(2\pi)^5}{5!}-\frac{(2\pi)^7}{7!} \pm\cdots }$

$2$ 次の項の係数比較

$2$ 次の項の係数を比較すると

${\displaystyle -\frac{1}{2!}=-\frac{{2 \choose 2}(2\pi)^0}{2!}+\frac{{4 \choose 2}(2\pi)^2}{4!} -\frac{{6 \choose 2}(2\pi)^4}{6!}+\frac{{8 \choose 2}(2\pi)^6}{8!} \mp\cdots }$
${\displaystyle \therefore 1=1-\frac{(2\pi)^2}{2!} +\frac{(2\pi)^4}{4!}-\frac{(2\pi)^6}{6!} \pm\cdots }$

$0$ 次の項の係数比較

$0$ 次の項の係数を比較すると

${\displaystyle 1=1-\frac{(2\pi)^2}{2!}+\frac{(2\pi)^4}{4!} -\frac{(2\pi)^6}{6!}+\frac{(2\pi)^8}{8!} \mp\cdots }$

この式の右辺は先ほど「$2$ 次の項の係数比較」で得られた式と同じですから $1$ に等しくなります。

$\therefore1=1$

無限級数を作るのと同じ方法で $1=1$ が得られました!

おわりに

人によっては「自明だな」と思われたかもしれません。
しかし、こんなふうに三角関数のマクローリン展開の $x$$x+\pi$$x-\pi$$-x$ などに置き換えて符号を合わせて係数比較して遊んでみると、変形したはずなのに元に戻ったり、よく見る式になったりして楽しいですので、いろいろ遊んでみてはどうでしょうか。

投稿日:2021719

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apu_yokai
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