エンタメ解説

円周率を含む無限級数と「１=１」の証明

1=1,自明な証明

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はじめに

この記事はTwitterのポテト一郎( @potetoichiro ) さんのツイート「【話題】1=1を証明して下さい！」への応募作品として作った記事です。ネタ要素が強いのでそのつもりでご笑覧いただければと思います。

$\cos x$ をマクローリン展開する

まず、 $\cos x$ をマクローリン展開します。

$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \frac{x^{8}}{8!} \mp \dots$

$x$ を $x + 2 π$ に置換すると

$\cos (x + 2 π) = 1 - \frac{(x + 2 π)^{2}}{2!} + \frac{(x + 2 π)^{4}}{4!} - \frac{(x + 2 π)^{6}}{6!} + \frac{(x + 2 π)^{8}}{8!} \mp \dots$

$\cos x = \cos (x + 2 π)$ であるから

$1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \frac{x^{8}}{8!} \mp \dots = 1 - \frac{(x + 2 π)^{2}}{2!} + \frac{(x + 2 π)^{4}}{4!} - \frac{(x + 2 π)^{6}}{6!} + \frac{(x + 2 π)^{8}}{8!} \mp \dots$

この式の両辺の同じ次数の係数を比較することで、次のようにいろいろな無限級数が得られます。

$1$ 次の項の係数比較

$1$ 次の項の係数を比較すると

$0 = - \frac{(\binom{2}{1}) 2 π}{2!} + \frac{(\binom{4}{1}) (2 π)^{3}}{4!} - \frac{(\binom{6}{1}) (2 π)^{5}}{6!} + \frac{(\binom{8}{1}) (2 π)^{7}}{8!} \mp \dots$
$∴ 0 = \frac{2 π}{1!} - \frac{(2 π)^{3}}{3!} + \frac{(2 π)^{5}}{5!} - \frac{(2 π)^{7}}{7!} \pm \dots$

$2$ 次の項の係数比較

$2$ 次の項の係数を比較すると

$- \frac{1}{2!} = - \frac{(\binom{2}{2}) (2 π)^{0}}{2!} + \frac{(\binom{4}{2}) (2 π)^{2}}{4!} - \frac{(\binom{6}{2}) (2 π)^{4}}{6!} + \frac{(\binom{8}{2}) (2 π)^{6}}{8!} \mp \dots$
$∴ 1 = 1 - \frac{(2 π)^{2}}{2!} + \frac{(2 π)^{4}}{4!} - \frac{(2 π)^{6}}{6!} \pm \dots$

$0$ 次の項の係数比較

$0$ 次の項の係数を比較すると

$1 = 1 - \frac{(2 π)^{2}}{2!} + \frac{(2 π)^{4}}{4!} - \frac{(2 π)^{6}}{6!} + \frac{(2 π)^{8}}{8!} \mp \dots$

この式の右辺は先ほど「 $2$ 次の項の係数比較」で得られた式と同じですから $1$ に等しくなります。

$∴ 1 = 1$

無限級数を作るのと同じ方法で $1 = 1$ が得られました!

おわりに

人によっては「自明だな」と思われたかもしれません。
しかし、こんなふうに三角関数のマクローリン展開の $x$ を $x + π$ や $x - π$ や $- x$ などに置き換えて符号を合わせて係数比較して遊んでみると、変形したはずなのに元に戻ったり、よく見る式になったりして楽しいですので、いろいろ遊んでみてはどうでしょうか。

投稿日：2021年7月19日

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円周率を含む無限級数と「１=１」の証明

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$\cos x$ をマクローリン展開する
$1$ 次の項の係数比較
$2$ 次の項の係数比較
$0$ 次の項の係数比較
おわりに

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cos⁡x をマクローリン展開する

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2 次の項の係数比較

0 次の項の係数比較

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$1$ 次の項の係数比較

$2$ 次の項の係数比較

$0$ 次の項の係数比較