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イカサマスロットマシーンの揃う確率

46
0
$$$$

$$条件$$
$$・絵柄の種類はm個$$
$$・m種類の個数はそれぞれn_1,n_2,...,n_m個$$
$$・同じ絵柄をk個そろえる必要がある$$

このとき、揃う確率は

$$・n_1個ある絵柄を揃える確率$$
$$(\frac{n_1}{\sum_{i=0}^{m}n_i})^k$$

$$・n_j個ある絵柄を揃える確率$$
$$(\frac{n_j}{\sum_{i=0}^{m}n_i})^k$$

$$・いずれかが揃う確率(これを求めてもあまり意味がないと思う)$$
$$\sum_{j=0}^{m}(\frac{n_j}{\sum_{i=0}^{m}n_i})^k$$

例えば、$2$個、$3$個、$4$個、$5$個の絵柄でできていて、$3$つ揃えばよいというスロットがあれば

$2$個の絵柄をA、$3$個の絵柄をB、$4$個の絵柄をC、$5$個の絵柄をDとすると

・Aが揃う確率
$$(\frac{2}{14})^3$$
$$= (\frac{1}{7})^3$$
$$= \frac{1}{343} ≒ \frac{3}{1000}$$

・Bが揃う確率
$$(\frac{3}{14})^3$$
$$= (\frac{1}{7})^3・(\frac{3}{2})^3$$
$$= \frac{1}{343}・\frac{27}{8}$$
$$= \frac{27}{2744} ≒ \frac{10}{1000}$$

・Cが揃う確率
$$(\frac{4}{14})^3$$
$$= (\frac{2}{7})^3$$
$$= \frac{8}{343} ≒ \frac{23}{1000}$$

・Dが揃う確率
$$(\frac{5}{14})^3$$
$$= \frac{125}{2744} ≒ \frac{46}{1000}$$

ちなみに、揃ったときにもらえる得点は以下の通りとします。
・A $5000$
・B $1000$
・C $500$
・D $100$
この時の期待値は
$$\frac{5000}{343} + \frac{27・1000}{2744} + \frac{8・500}{343} + \frac{125・100}{2744}$$
$$= \frac{5000}{343} + \frac{27000}{2744} + \frac{4000}{343} + \frac{12500}{2744}$$
$$= \frac{40000 + 27000 + 32000 + 12500}{2744}$$
$$= \frac{111500}{2744} ≒ 41$$

う、やっぱり低いな・・・

実はこういうアプリがありまして、期待値を計算してみたというわけです。

しかし、これは正攻法で挑んだ場合

僕はこのアプリであるイカサマを発見しました。

スロットを回している途中で画面を閉じれば、持っているコインが支払われないということです。

つまり、最初に2つ回しておき、揃わなければリセット、という風にすれば揃う確率がグッと上がるはずです。

これを計算していきます。

イカサマありの場合

最初に$2$つ揃った状態なので、最後だけ止めればよいわけです。

その確率は

・Aが揃う確率
$$\frac{1}{7} ≒ \frac{143}{1000}$$

・Bが揃う確率
$$\frac{3}{14} ≒ \frac{214}{1000}$$

・Cが揃う確率
$$\frac{2}{7} ≒ \frac{286}{1000}$$

・Dが揃う確率
$$\frac{5}{14} ≒ \frac{357}{1000}$$

わお。$3-5$回に$1$は揃いますね。

期待値を計算しますと

$$\frac{5000}{7} + \frac{3・1000}{14} + \frac{2・500}{7} + \frac{5・100}{14}$$
$$= \frac{5000}{7} + \frac{3000}{14} + \frac{1000}{7} + \frac{500}{14}$$
$$= \frac{10000+3000+2000+500}{14}$$
$$= \frac{15500}{14} ≒ 1107$$

やったぜ。

$1$回回すごとに$1000$ポイントは貰える計算になります。ウハウハ。

訂正 2021/9/3

すみません、訂正です。

2個目でリセットをかけるとはいえ、ばらつきがあることに気付きました。

申し訳ありません。

というわけで丁寧に表を書いてみようと思います。

3回目が$○$の場合は最後のスロットを回す必要があり、$×$の場合はリセットです。

つまり、$○$だけ数えればよいことになります。

1回目2回目3回目
AA$○$
AA$○$
AB$×$
AB$×$
AB$×$
AC$×$
AC$×$
AC$×$
AC$×$
AD$×$
AD$×$
AD$×$
AD$×$
AD$×$
BA$×$
BA$×$
BB$○$
BB$○$
BB$○$
BC$×$
BC$×$
BC$×$
BC$×$
BD$×$
BD$×$
BD$×$
BD$×$
BD$×$
CA$×$
CA$×$
CB$×$
CB$×$
CB$×$
CC$○$
CC$○$
CC$○$
CC$○$
CD$×$
CD$×$
CD$×$
CD$×$
CD$×$
DA$×$
DA$×$
DB$×$
DB$×$
DB$×$
DC$×$
DC$×$
DC$×$
DC$×$
DD$○$
DD$○$
DD$○$
DD$○$
DD$○$

このようにばらつきがあります。

全通りを調べると$○$の数は

$$2×2+3×3+4×4+5×5$$
$$=4+9+16+25$$
$$=54$$

$○$の場合は最後のスロットを回さなくてはなりません。

スロット一個に対し、14個絵柄があるので

$$54 × 14 = 756$$

全体で$756$通りあることがわかりました。

よって

  1. Aが当たる確率
    $$\frac{2×2×2}{756}$$
    $$=\frac{8}{756}$$

  2. Bが当たる確率
    $$\frac{3×3×3}{756}$$
    $$=\frac{27}{756}$$

  3. Cが当たる確率
    $$\frac{4×4×4}{756}$$
    $$=\frac{64}{756}$$

  4. Dが当たる確率
    $$\frac{5×5×5}{756}$$
    $$=\frac{125}{756}$$

揃ったときの得点は
・A $5000$
・B $1000$
・C $500$
・D $100$
期待値は

$$\frac{8×5000}{756}+\frac{27×1000}{756}+\frac{64×500}{756}+\frac{125×100}{756}$$
$$= \frac{40000}{756}+\frac{27000}{756}+\frac{32000}{756}+\frac{12500}{756}$$
$$= \frac{111500}{756} ≒ 147.5$$

正攻法よりも$3.5倍$はもらえますね。

「毎回$100$点はもらえるでしょう」という計算になります。

ゲームをしていても直感的にそんな気はします。感想ですが。

現場からは以上です。

投稿日:2021814

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あーく
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使える数学、面白い数学の分かりやすい解説を心がけています。

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