高校数学解説

イカサマスロットマシーンの揃う確率

確率,ゲーム

$条件$
$・絵柄の種類は m 個$
$・ m 種類の個数はそれぞれ n_{1}, n_{2}, . . ., n_{m} 個$
$・同じ絵柄を k 個そろえる必要がある$

このとき、揃う確率は

$・ n_{1} 個ある絵柄を揃える確率$
$(\frac{n_{1}}{\sum_{i = 0}^{m} n_{i}})^{k}$

$・ n_{j} 個ある絵柄を揃える確率$
$(\frac{n_{j}}{\sum_{i = 0}^{m} n_{i}})^{k}$

$・いずれかが揃う確率 (これを求めてもあまり意味がないと思う)$
$\sum_{j = 0}^{m} (\frac{n_{j}}{\sum_{i = 0}^{m} n_{i}})^{k}$

例えば、 $2$ 個、 $3$ 個、 $4$ 個、 $5$ 個の絵柄でできていて、 $3$ つ揃えばよいというスロットがあれば

$2$ 個の絵柄をA、 $3$ 個の絵柄をB、 $4$ 個の絵柄をC、 $5$ 個の絵柄をDとすると

・Aが揃う確率
$(\frac{2}{14})^{3}$
$= (\frac{1}{7})^{3}$
$= \frac{1}{343} ≒ \frac{3}{1000}$

・Bが揃う確率
$(\frac{3}{14})^{3}$
$= (\frac{1}{7})^{3} ・ (\frac{3}{2})^{3}$
$= \frac{1}{343} ・ \frac{27}{8}$
$= \frac{27}{2744} ≒ \frac{10}{1000}$

・Cが揃う確率
$(\frac{4}{14})^{3}$
$= (\frac{2}{7})^{3}$
$= \frac{8}{343} ≒ \frac{23}{1000}$

・Dが揃う確率
$(\frac{5}{14})^{3}$
$= \frac{125}{2744} ≒ \frac{46}{1000}$

ちなみに、揃ったときにもらえる得点は以下の通りとします。
・A $5000$
・B $1000$
・C $500$
・D $100$
この時の期待値は
$\frac{5000}{343} + \frac{27 ・ 1000}{2744} + \frac{8 ・ 500}{343} + \frac{125 ・ 100}{2744}$
$= \frac{5000}{343} + \frac{27000}{2744} + \frac{4000}{343} + \frac{12500}{2744}$
$= \frac{40000 + 27000 + 32000 + 12500}{2744}$
$= \frac{111500}{2744} ≒ 41$

う、やっぱり低いな・・・

実はこういうアプリがありまして、期待値を計算してみたというわけです。

しかし、これは正攻法で挑んだ場合。

僕はこのアプリであるイカサマを発見しました。

スロットを回している途中で画面を閉じれば、持っているコインが支払われないということです。

つまり、最初に2つ回しておき、揃わなければリセット、という風にすれば揃う確率がグッと上がるはずです。

これを計算していきます。

イカサマありの場合

最初に $2$ つ揃った状態なので、最後だけ止めればよいわけです。

その確率は

・Aが揃う確率
$\frac{1}{7} ≒ \frac{143}{1000}$

・Bが揃う確率
$\frac{3}{14} ≒ \frac{214}{1000}$

・Cが揃う確率
$\frac{2}{7} ≒ \frac{286}{1000}$

・Dが揃う確率
$\frac{5}{14} ≒ \frac{357}{1000}$

わお。 $3 - 5$ 回に $1$ 回は揃いますね。

期待値を計算しますと

$\frac{5000}{7} + \frac{3 ・ 1000}{14} + \frac{2 ・ 500}{7} + \frac{5 ・ 100}{14}$
$= \frac{5000}{7} + \frac{3000}{14} + \frac{1000}{7} + \frac{500}{14}$
$= \frac{10000 + 3000 + 2000 + 500}{14}$
$= \frac{15500}{14} ≒ 1107$

やったぜ。

$1$ 回回すごとに $1000$ ポイントは貰える計算になります。ウハウハ。

訂正 2021/9/3

すみません、訂正です。

2個目でリセットをかけるとはいえ、ばらつきがあることに気付きました。

申し訳ありません。

というわけで丁寧に表を書いてみようと思います。

3回目が $○$ の場合は最後のスロットを回す必要があり、 $\times$ の場合はリセットです。

つまり、 $○$ だけ数えればよいことになります。

1回目	2回目	3回目
A	A	$○$
A	A	$○$
A	B	$\times$
A	B	$\times$
A	B	$\times$
A	C	$\times$
A	C	$\times$
A	C	$\times$
A	C	$\times$
A	D	$\times$
A	D	$\times$
A	D	$\times$
A	D	$\times$
A	D	$\times$
B	A	$\times$
B	A	$\times$
B	B	$○$
B	B	$○$
B	B	$○$
B	C	$\times$
B	C	$\times$
B	C	$\times$
B	C	$\times$
B	D	$\times$
B	D	$\times$
B	D	$\times$
B	D	$\times$
B	D	$\times$
C	A	$\times$
C	A	$\times$
C	B	$\times$
C	B	$\times$
C	B	$\times$
C	C	$○$
C	C	$○$
C	C	$○$
C	C	$○$
C	D	$\times$
C	D	$\times$
C	D	$\times$
C	D	$\times$
C	D	$\times$
D	A	$\times$
D	A	$\times$
D	B	$\times$
D	B	$\times$
D	B	$\times$
D	C	$\times$
D	C	$\times$
D	C	$\times$
D	C	$\times$
D	D	$○$
D	D	$○$
D	D	$○$
D	D	$○$
D	D	$○$

このようにばらつきがあります。

全通りを調べると $○$ の数は

$2 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 4 + 5 \times 5$
$= 4 + 9 + 16 + 25$
$= 54$

$○$ の場合は最後のスロットを回さなくてはなりません。

スロット一個に対し、14個絵柄があるので

$54 \times 14 = 756$

全体で $756$ 通りあることがわかりました。

よって

Aが当たる確率
$\frac{2 \times 2 \times 2}{756}$
$= \frac{8}{756}$
Bが当たる確率
$\frac{3 \times 3 \times 3}{756}$
$= \frac{27}{756}$
Cが当たる確率
$\frac{4 \times 4 \times 4}{756}$
$= \frac{64}{756}$
Dが当たる確率
$\frac{5 \times 5 \times 5}{756}$
$= \frac{125}{756}$

揃ったときの得点は
・A $5000$
・B $1000$
・C $500$
・D $100$
期待値は

$\frac{8 \times 5000}{756} + \frac{27 \times 1000}{756} + \frac{64 \times 500}{756} + \frac{125 \times 100}{756}$
$= \frac{40000}{756} + \frac{27000}{756} + \frac{32000}{756} + \frac{12500}{756}$
$= \frac{111500}{756} ≒ 147.5$