イカサマスロットマシーンの揃う確率
$$条件$$
$$・絵柄の種類はm個$$
$$・m種類の個数はそれぞれn_1,n_2,...,n_m個$$
$$・同じ絵柄をk個そろえる必要がある$$
このとき、揃う確率は
$$・n_1個ある絵柄を揃える確率$$
$$(\frac{n_1}{\sum_{i=0}^{m}n_i})^k$$
$$・n_j個ある絵柄を揃える確率$$
$$(\frac{n_j}{\sum_{i=0}^{m}n_i})^k$$
$$・いずれかが揃う確率(これを求めてもあまり意味がないと思う)$$
$$\sum_{j=0}^{m}(\frac{n_j}{\sum_{i=0}^{m}n_i})^k$$
例えば、$2$個、$3$個、$4$個、$5$個の絵柄でできていて、$3$つ揃えばよいというスロットがあれば
$2$個の絵柄をA、$3$個の絵柄をB、$4$個の絵柄をC、$5$個の絵柄をDとすると
・Aが揃う確率
$$(\frac{2}{14})^3$$
$$= (\frac{1}{7})^3$$
$$= \frac{1}{343} ≒ \frac{3}{1000}$$
・Bが揃う確率
$$(\frac{3}{14})^3$$
$$= (\frac{1}{7})^3・(\frac{3}{2})^3$$
$$= \frac{1}{343}・\frac{27}{8}$$
$$= \frac{27}{2744} ≒ \frac{10}{1000}$$
・Cが揃う確率
$$(\frac{4}{14})^3$$
$$= (\frac{2}{7})^3$$
$$= \frac{8}{343} ≒ \frac{23}{1000}$$
・Dが揃う確率
$$(\frac{5}{14})^3$$
$$= \frac{125}{2744} ≒ \frac{46}{1000}$$
ちなみに、揃ったときにもらえる得点は以下の通りとします。
・A $5000$
・B $1000$
・C $500$
・D $100$
この時の期待値は
$$\frac{5000}{343} + \frac{27・1000}{2744} + \frac{8・500}{343} + \frac{125・100}{2744}$$
$$= \frac{5000}{343} + \frac{27000}{2744} + \frac{4000}{343} + \frac{12500}{2744}$$
$$= \frac{40000 + 27000 + 32000 + 12500}{2744}$$
$$= \frac{111500}{2744} ≒ 41$$
う、やっぱり低いな・・・
実はこういうアプリがありまして、期待値を計算してみたというわけです。
しかし、これは正攻法で挑んだ場合。
僕はこのアプリであるイカサマを発見しました。
スロットを回している途中で画面を閉じれば、持っているコインが支払われないということです。
つまり、最初に2つ回しておき、揃わなければリセット、という風にすれば揃う確率がグッと上がるはずです。
これを計算していきます。
イカサマありの場合
最初に$2$つ揃った状態なので、最後だけ止めればよいわけです。
その確率は
・Aが揃う確率
$$\frac{1}{7} ≒ \frac{143}{1000}$$
・Bが揃う確率
$$\frac{3}{14} ≒ \frac{214}{1000}$$
・Cが揃う確率
$$\frac{2}{7} ≒ \frac{286}{1000}$$
・Dが揃う確率
$$\frac{5}{14} ≒ \frac{357}{1000}$$
わお。$3-5$回に$1$回は揃いますね。
期待値を計算しますと
$$\frac{5000}{7} + \frac{3・1000}{14} + \frac{2・500}{7} + \frac{5・100}{14}$$
$$= \frac{5000}{7} + \frac{3000}{14} + \frac{1000}{7} + \frac{500}{14}$$
$$= \frac{10000+3000+2000+500}{14}$$
$$= \frac{15500}{14} ≒ 1107$$
やったぜ。
$1$回回すごとに$1000$ポイントは貰える計算になります。ウハウハ。
訂正 2021/9/3
すみません、訂正です。
2個目でリセットをかけるとはいえ、ばらつきがあることに気付きました。
申し訳ありません。
というわけで丁寧に表を書いてみようと思います。
3回目が$○$の場合は最後のスロットを回す必要があり、$×$の場合はリセットです。
つまり、$○$だけ数えればよいことになります。
| 1回目 | 2回目 | 3回目 |
|---|---|---|
| A | A | $○$ |
| A | A | $○$ |
| A | B | $×$ |
| A | B | $×$ |
| A | B | $×$ |
| A | C | $×$ |
| A | C | $×$ |
| A | C | $×$ |
| A | C | $×$ |
| A | D | $×$ |
| A | D | $×$ |
| A | D | $×$ |
| A | D | $×$ |
| A | D | $×$ |
| B | A | $×$ |
| B | A | $×$ |
| B | B | $○$ |
| B | B | $○$ |
| B | B | $○$ |
| B | C | $×$ |
| B | C | $×$ |
| B | C | $×$ |
| B | C | $×$ |
| B | D | $×$ |
| B | D | $×$ |
| B | D | $×$ |
| B | D | $×$ |
| B | D | $×$ |
| C | A | $×$ |
| C | A | $×$ |
| C | B | $×$ |
| C | B | $×$ |
| C | B | $×$ |
| C | C | $○$ |
| C | C | $○$ |
| C | C | $○$ |
| C | C | $○$ |
| C | D | $×$ |
| C | D | $×$ |
| C | D | $×$ |
| C | D | $×$ |
| C | D | $×$ |
| D | A | $×$ |
| D | A | $×$ |
| D | B | $×$ |
| D | B | $×$ |
| D | B | $×$ |
| D | C | $×$ |
| D | C | $×$ |
| D | C | $×$ |
| D | C | $×$ |
| D | D | $○$ |
| D | D | $○$ |
| D | D | $○$ |
| D | D | $○$ |
| D | D | $○$ |
このようにばらつきがあります。
全通りを調べると$○$の数は
$$2×2+3×3+4×4+5×5$$
$$=4+9+16+25$$
$$=54$$
$○$の場合は最後のスロットを回さなくてはなりません。
スロット一個に対し、14個絵柄があるので
$$54 × 14 = 756$$
全体で$756$通りあることがわかりました。
よって
Aが当たる確率
$$\frac{2×2×2}{756}$$
$$=\frac{8}{756}$$Bが当たる確率
$$\frac{3×3×3}{756}$$
$$=\frac{27}{756}$$Cが当たる確率
$$\frac{4×4×4}{756}$$
$$=\frac{64}{756}$$Dが当たる確率
$$\frac{5×5×5}{756}$$
$$=\frac{125}{756}$$
揃ったときの得点は
・A $5000$
・B $1000$
・C $500$
・D $100$
期待値は
$$\frac{8×5000}{756}+\frac{27×1000}{756}+\frac{64×500}{756}+\frac{125×100}{756}$$
$$= \frac{40000}{756}+\frac{27000}{756}+\frac{32000}{756}+\frac{12500}{756}$$
$$= \frac{111500}{756} ≒ 147.5$$
正攻法よりも$3.5倍$はもらえますね。
「毎回$100$点はもらえるでしょう」という計算になります。
ゲームをしていても直感的にそんな気はします。感想ですが。
現場からは以上です。