答えが2600になる問題
はじめに
ここではTwitterのフォロワー2600人記念で出題した問題の解説をします。
出題ツイートはこちら
フォロワー2600人記念問題のツイート
問題$1$
整数 $n$ を４つの非負整数の足し算で表す方法の数を $a(n)$ とします。
例えば、$n=1,2$ のときは次のように表すことができるので、$a(1)=4\,,\,a(2)=10$となります。
$ \left.\begin{align} 1&=1+0+0+0\\ &=0+1+0+0\\ &=0+0+1+0\\ &=0+0+0+1 \end{align} \right\}\text{4とおり} $
$ \left.\begin{align} 2&=2+0+0+0\\ &=0+2+0+0\\ &=0+0+2+0\\ &=0+0+0+2\\ &=1+1+0+0\\ &\qquad\vdots \end{align} \right\}\text{10とおり} $
それでは、$a(23)$ を求めてください。
問題$1$の解答
$\begin{align} a(23)&={}_{26}C_{3}\\ &=2600 \end{align}$
なぜ ${}_{26}C_{3}$ で答えが出るのか説明します。
次のように〇を26個並べることを考えます。
$\underbrace{〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇\cdots〇}_{26個}$
そこから任意に３つの〇を選んで「$＋$」に置き換えることを考えます。たとえば次のように。
$〇〇＋〇〇〇＋＋\underbrace{〇〇〇〇\cdots〇}_{21個}$
そして、+で区切られた〇の数を数字に置き換えます。〇がない場所は「$0$」に置き換えます。上記の配列の場合はこんな感じになります。
$2＋3＋0＋21$
このように考えれば、「整数 $n$ を $m$ 個の非負整数の足し算で表す方法の数」が「 $n+m-1$ 個の〇から$m-1$ 個選ぶ方法の数」と同じになることがわかりますね!
問題$2$
${\displaystyle \int_0^1 3x^2(1-x)^{23}\,dx=? }$
問題$2$の解答
${\displaystyle \begin{align} \int_0^1 3x^2(1-x)^{23}\,dx &=-\int_1^0 3(1-y)^2y^{23}\,dy\qquad (y=1-x)\\ &=\int_0^1 3(y^{25}-2y^{24}+y^{23})\,dy\\ &=\left[ 3\left(\frac{y^{26}}{26}-\frac{2y^{25}}{25}+\frac{y^{24}}{24}\right) \right ]_0^1\\ &=3\left(\frac{1}{26}-\frac{2}{25}+\frac{1}{24}\right)\\ &=\frac{1}{2600} \end{align} }$
ベータ関数
${\displaystyle {\mathrm {\mathrm{B} }}(x,y)=\int _{0}^{1}t^{{x-1}}(1-t)^{{y-1}}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\! }$
を使うともっと簡単に答えがでます。
(別解)
${\displaystyle
\begin{align}
\int_0^1
3x^2(1-x)^{23}\,dx
&=3{\mathrm {\mathrm{B} }}(3,24)\\
&=3\cdot\frac{2!23!}{26!}\\
&=\frac{1}{2600}
\end{align}
}$
おわりに
というわけで、答えが「$2600$」と関係するようにしていたのでした。
……が、この問題を出題したあと、フォロワーが減って$2600$ を切ってしまいました。
あまりウケなかったようです😢
これにこりずに今後ともよろしくお願いします!
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