自作問題No.30

問題

$m,n$を自然数、$x$を$0< x<2\pi$なる実数として、以下の問に答えよ。
(1)等式$\displaystyle\sum_{k=1}^n\sin kx=\frac{\sin\displaystyle\frac{n}{2}x\cdot\sin\left(\displaystyle\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin\displaystyle\frac{x}{2}}$が成り立つことを示せ。
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2n+1}\int_{\pi}^x\frac{\cos\frac{t}{2}\cdot\sin\frac{2n+1}{2}t}{\sin^2\frac{t}{2}}dt$を求めよ。
(3)等式$\displaystyle\sum_{k=1}^{2m}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum_{k=1}^m\frac{1}{m+k}$が成り立つことを示せ。
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{\cos kx}{k}$を求めよ。