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ドラゴンクエストのポーカーでロイヤルストレートフラッシュになる確率を最大化する交換とは?

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経緯

ドラゴンクエスト11では、カジノのポーカーでロイヤルストレートフラッシュをすることで称号を得ることができます。

しかし、ロイヤルストレートフラッシュがあまりにも出ないので、どうすれば確率を最大化できるかを考えました。

例えば、手札にエースが1枚あるとき、他のスート狙いで全交換した方がよいのか、それともエースと同じスートを集めた方がよいのか、直感的にわからないことがあります。

なので、手札の状況ごとにどのように交換すればロイヤルストレートフラッシュが出る確率が高いのかを計算してみました。

計算していると、あるルールが見えてきたので紹介しようと思います。

ドラクエのポーカーのルール

$$ルール$$
$$・基本ルールは一般的なポーカーと同じ$$
$$・プレイヤーは自分1人だけ$$
$$・最初に手札を5枚配られた後に1回だけ手札交換を行う$$
$$プレイヤーは任意の枚数だけ交換できるが、交換しなくてもよい$$
$$・ジョーカーを含めた53枚で行う$$
$$・ロイヤルストレートフラッシュは、A、10、J、Q、Kを同じスートで揃えたらできる役$$
$$・ジョーカーはワイルドカードであり、他のトランプの代わりとして扱ってもよい$$
$$例えば、手札がJoker、♦10、♦J、♦Q、♦Kのとき、Jokerを♦Aの代わりとし$$
$$ロイヤルストレートフラッシュとすることができる$$

他にも、ワンペアはブタとみなす、シリーズによっては役にロイヤルストレートスライムや5スライムがある、などのルールがありますが、ここでは無関係なので省略します。

結論

以下のルールを守れば確率を最大化できます。

$$・手札にジョーカーがあればキープ$$
$$・交換する枚数は少なければ少ないほどよい$$
$$つまり、全部交換して山札で役を揃えるよりも、手札にあるもので役を揃えた方が揃う確率は高い$$

上記のルールに従ったときの確率は以下の通り

手札のジョーカーと同スートのA、10、J、Q、Kの合計(枚)ロイヤルストレートフラッシュが揃う確率(%)
00.001402
1(JK抜)0.00257
1(JK)0.010279
20.023127
30.265957
44.166667

確率の単位は%です。これでも。

計算

上記のルールに従うほど揃う確率が高くなることを確認します。

ここから、全通りの計算をしますが、長いので飛ばしても構いません。

用語など説明
・JK:ジョーカーのことです。
Jだけだとジャックと紛らわしいのでJKにします。
女子高生ではありません。
・素材:ロイヤルストレートフラッシュの役となり得るカード(A、10、J、Q、K、JK)です。
・全交換:手札をすべて捨て、5枚交換することです。
・スートA:トランプのスート$♠$$♥$$♦$$♣$のどれかの素材1枚を表します。
スートAからスートDまで存在しますが、例えばスートAとスートBは別スートとみなします。
スートA×2は、同じスートの素材が2枚あることを表しています。
・JK+スートA×2+スートB:これは手札にJKが1枚、スートAの素材が2枚、スートBの素材が1枚ある場合です。
・A残し3枚交換:手札のスートAを何枚か残し、3枚を交換するという意味です。
スートAが2枚ある場合はスートAを2枚残し、他の3枚を捨てます。
スートAが3枚ある場合はスートAを1枚と他の2枚を捨てることになります。
全通りを調べる必要があるため、手札にある素材を捨てたり、JKを捨てたりすることも許します。
ただし、ロイヤルストレートフラッシュとなる確率が0になるような捨て方はしないものとします。
${}_{48} \mathrm{ C }_n$:53枚のカードから最初に手札5枚を引くと48枚になります。その48枚のカードからn枚のカードを引いたときの場合の数です。
例えば、3枚引いたとすると${}_{48} \mathrm{ C }_3 = \frac{48!}{45!3!} = \frac{48・47・46}{6} = 8・2162 = 17296$通りあります。
$\frac{43!4!}{48!}$:どの場合の確率も持っている共通因数です。
確率を比較しやすくするために使います。

以下、手札に素材がどのくらい入っているかで場合分けします。

手札に素材が0枚

全交換

$$\frac{ロイヤルストレートフラッシュとなる通り}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{(スートAの素材5枚とJK)から5枚選ぶ×スート4種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{6} \mathrm{ C }_5×4}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{24・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{120・43!4!}{48!} ー⓪$$

手札に素材が1枚

スートA

全交換

$$\frac{(スートA×4とJK)から5枚選ぶ+(スートB×5とJK)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{6} \mathrm{ C }_5×3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{19・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{95・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{5・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} ー①$$

JK

全交換

$$\frac{(スートA×5)から5枚選ぶ×スート4種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{4}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{4・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{20・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA×5)から4枚選ぶ×スート4種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4×4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{20・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{880・43!4!}{48!} ー①'$$

手札に素材が2枚

スートA+スートB

全交換

$$\frac{(スートA×4とJK)から5枚選ぶ×スート2種+(スートC×5とJK)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1×2+{}_{6} \mathrm{ C }_5×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{14・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{70・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

スートA×2

全交換

$$\frac{(スートB×5とJK)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{6} \mathrm{ C }_5×3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{18・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{90・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{4・45!3!}{48!}$$
$$= \frac{45・44・43!4!}{48!}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} ー②$$

JK+スートA

全交換

$$\frac{(スートB×5)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$=\frac{3・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{15・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ+(スートB×5)から4枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{5} \mathrm{ C }_4×3}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{16・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{704・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

手札に素材が3枚

スートA+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートA×4とJK)から5枚選ぶ×スート3種+(スートD×5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{3+{}_{6} \mathrm{ C }_5}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{9・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{45・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBまたはCを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

スートA×2+スートB

全交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から5枚選ぶ+(スートC×5とJK)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{6} \mathrm{ C }_5×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{13・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{65・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

スートA×3

全交換

$$\frac{(スートB×5とJK)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{6} \mathrm{ C }_5×3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{18・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{90・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{45・44・43!3!}{48!}$$
$$= \frac{45・11・43!4!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{3} \mathrm{ C }_2}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{3・46!2!}{48!}$$
$$= \frac{46・45・44・43!3!}{48!}$$
$$= \frac{46・45・11・43!4!}{48!}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} ー③$$

JK+スートA+スートB

全交換

$$\frac{(スートC×5)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{2・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{10・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ×スート2種+(スートC×5)から4枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1×2+{}_{5} \mathrm{ C }_4×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{12・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{528・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

JK+スートA×2

全交換

$$\frac{(スートB×5)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{3・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{15・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB×5)から4枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4×3}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{15・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{660・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= A残し3枚交換と同じ$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×3)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{3} \mathrm{ C }_2}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} (③)$$

手札に素材が4枚

スートA+スートB+スートC+スートD

全交換

$$\frac{(スートA×4とJK)から5枚選ぶ×スート4種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{4}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{4・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{20・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBまたはCまたはDを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

スートA×2+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から5枚選ぶ×スート2種+(スートD×5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{2+{}_{6} \mathrm{ C }_5}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{8・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{40・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換(Bの代わりにCを残しても同確率)

$$\frac{(スートB×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

スートA×2+スートB×2

全交換

$$\frac{(スートC×5とJK)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{6} \mathrm{ C }_5×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{12・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{60・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

スートA×3+スートB

全交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から5枚選ぶ+(スートC×5とJK)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{6} \mathrm{ C }_5×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{13・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{65・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} (③)$$

スートA×4

全交換

$$\frac{(スートB×5とJK)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{6} \mathrm{ C }_5×3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{18・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{90・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×1とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{46!2!}{48!}$$
$$= \frac{46・45・44・43!2!}{48!}$$
$$= \frac{46・15・11・43!4!}{48!}$$
$$= \frac{7590・43!4!}{48!}$$

A残し1枚交換

$$\frac{(スートA×1とJK)から1枚選ぶ}{山札48枚から1枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{2} \mathrm{ C }_1}{{}_{48} \mathrm{ C }_1}$$
$$= \frac{2・47!1!}{48!}$$
$$= \frac{47・46・45・44・43!2!}{48!}$$
$$= \frac{47・46・15・11・43!4!}{48!}$$
$$= \frac{356730・43!4!}{48!} ー④$$

JK+スートA+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートD×5)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{43!5!}{48!}$$
$$= \frac{5・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBまたはCを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ×スート3種+(スートD×5)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{3+{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{8・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{352・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換(Aの代わりにBまたはCを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

JK+スートA×2+スートB

全交換

$$\frac{(スートC×5)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{2・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{10・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4)から4枚選ぶ+(スートC×5)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{6・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{264・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= A残し3枚交換と同じ$$

JK、B残し3枚交換

$$\frac{(スートB×4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×3)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{3} \mathrm{ C }_2}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} (③)$$

JK+スートA×3

全交換

$$\frac{(スートB×5)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{3・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{15・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB×5)から4枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4×3}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{15・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{660・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{46!2!}{48!}$$
$$= \frac{7590・43!4!}{48!}$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= A残し2枚交換と同じ$$

JK、A残し1枚交換

$$\frac{(スートA×2)から1枚選ぶ}{山札48枚から1枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{2} \mathrm{ C }_1}{{}_{48} \mathrm{ C }_1}$$
$$= \frac{356730・43!4!}{48!} (④)$$

手札に素材が5枚

スートA×5、JK+スートA×4のパターンは、交換する必要がないので除きます

スートA×2+スートB+スートC+スートD

全交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から5枚選ぶ×スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{3}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{3・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{15・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換(Bの代わりにCまたはDを残しても同確率)

$$\frac{(スートB×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

スートA×2+スートB×2+スートC

全交換

$$\frac{(スートC×4とJK)から5枚選ぶ+(スートD×5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{6} \mathrm{ C }_5}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{7・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{35・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

C残し4枚交換

$$\frac{(スートC×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

A残し3枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

スートA×3+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から5枚選ぶ×スート2種+(スートD×5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{2+{}_{6} \mathrm{ C }_5}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{8・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{40・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換(Bの代わりにCを残しても同確率)

$$\frac{(スートB×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} (③)$$

スートA×3+スートB×2

全交換

$$\frac{(スートC×5とJK)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{6} \mathrm{ C }_5×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{12・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{60・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB×3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

B残し3枚交換

$$\frac{(スートB×3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} (③)$$

スートA×4+スートB

全交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から5枚選ぶ+(スートC×5とJK)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{6} \mathrm{ C }_5×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{13・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{65・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{220・43!4!}{48!} (①)$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×1とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{46!2!}{48!}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!}$$

A残し1枚交換

$$\frac{(スートA×1とJK)から1枚選ぶ}{山札48枚から1枚引くパターン数}$$
$$= \frac{356730・43!4!}{48!} (④)$$

JK+スートA+スートB+スートC+スートD

全交換は揃わないので除外

A残し4枚交換(Aの代わりにBまたはCまたはDを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA×4)から4枚選ぶ×スート4種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{4・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{176・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換(Aの代わりにBまたはCまたはDを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

JK+スートA×2+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートD×5)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{43!5!}{48!}$$
$$= \frac{5・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換(Cを残しても同確率)

$$\frac{(スートB×4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4)から4枚選ぶ×スート2種+(スートD×5)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{2+{}_{5} \mathrm{ C }_4}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{7・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{308・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= A残し3枚交換と同じ$$

JK、B残し3枚交換

$$\frac{(スートB×4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×3)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{3} \mathrm{ C }_2}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} (③)$$

JK+スートA×2+スートB×2

全交換

$$\frac{(スートC×5)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{2・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{10・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートC×5)から4枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{5} \mathrm{ C }_4×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{10・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{440・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_3}$$
$$= \frac{45!3!}{48!}$$
$$= \frac{495・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA×3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$= A残し3枚交換と同じ$$

JK、A残し2枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA×3)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{3} \mathrm{ C }_2}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{22770・43!4!}{48!} (③)$$

JK+スートA×3+スートB

全交換

$$\frac{(スートC×5)から5枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$= \frac{2}{{}_{48} \mathrm{ C }_5}$$
$$= \frac{2・43!5!}{48!}$$
$$= \frac{10・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{44!4!}{48!}$$
$$= \frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4)から4枚選ぶ+(スートC×5)から4枚選ぶ×スート2種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1+{}_{5} \mathrm{ C }_4×2}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{11・44!4!}{48!}$$
$$= \frac{484・43!4!}{48!}$$

JK、B残し4枚交換

$$\frac{(スートB×4)から3枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{4} \mathrm{ C }_3}{{}_{48} \mathrm{ C }_4}$$
$$= \frac{1980・43!4!}{48!} (②)$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= \frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_2}$$
$$= \frac{46!2!}{48!}$$
$$= \frac{7590・43!4!}{48!}$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA×2)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$= A残し2枚交換と同じ$$

JK、A残し1枚交換

$$\frac{(スートA×2)から1枚選ぶ}{山札48枚から1枚引くパターン数}$$
$$= \frac{{}_{2} \mathrm{ C }_1}{{}_{48} \mathrm{ C }_1}$$
$$= \frac{356730・43!4!}{48!} (④)$$

まとめ

$$・交換する枚数は少なければ少ないほどよい$$
$$これは、n \le 5でnが小さいほど\frac{1}{{}_{48} \mathrm{ C }_n}の値が大きくなる性質から$$
$$・素材が2枚以上のとき、同スートの素材とJKの総数と確率が関係する$$
$$例えば、スートA+スートBよりもスートA×2の方が交換する枚数が少ないので、ロイヤルストレートフラッシュが揃う確率が高い$$
$$JK+スートAとスートA×2は、交換する枚数は同じなので、ロイヤルストレートフラッシュが揃う確率は同じ$$
$$よって、JKと同スートの素材の枚数だけが確率に関係する$$
$$・以下は、確率をまとめた表$$

手札に揃った同スートの素材の枚数確率(比較用)既約分数%
0$⓪ = \frac{120・43!4!}{48!}$$\frac{1}{71346}$0.001402
1(JK抜)$① = \frac{220・43!4!}{48!}$$\frac{1}{38916}$0.00257
1(JK)$①' = \frac{880・43!4!}{48!}$$\frac{1}{9729}$0.010279
2$② = \frac{1980・43!4!}{48!}$$\frac{1}{4324}$0.023127
3$③ = \frac{22770・43!4!}{48!}$$\frac{1}{376}$0.265957
4$④ = \frac{356730・43!4!}{48!}$$\frac{1}{24}$4.166667

さらに、最初に素材が配られる確率にもばらつきがあります。

4枚揃った状態からでも5%未満です。

ちなみに、ドラクエ11でのロイヤルストレートフラッシュのレートは100倍です。

絶対確率と割に合ってないだろ

スロットの方がお助けがある分、良心的だと思います。

帰ってスロットでもしーようっと

というわけで実践してみました(おまけ)

もうすぐ1000戦近くになる。

僕はルールに従ってカードを捨てる。

「手札にジョーカーがあればキープ」「ロイヤルストレートフラッシュができるように、かつ捨て札の枚数が少なくなるように捨てる」

これらを忠実に守った。

順調に役が揃う。

ツーペア、スリーカード・・・

違う!僕が狙っているのはこんな平凡な役ではない。

狙いはロイヤルストレートフラッシュだ!

ロイヤルストレートフラッシュ以外は無意味なんだ!

たとえ初手でフルハウスが揃おうとも、僕はあっさり手放せた。

そう、すべてはロイヤルストレートフラッシュのため。

そして、ついにその瞬間が訪れる。

手札はスライムのA、J、Q、と他の数。
(ドラクエではスートはそれぞれスライム、剣、盾、王冠)

この状態でルールに従って捨てれば、揃う確率は**約0.25%**。

僕はごくりと唾を飲み、仲間外れの2枚のカードを捨てる。

そして、僕はついに引き当てた。

まず一枚目。

スライムの10!

そして・・・

・・・

K!

スートは。

・・・

王冠だ!

やったー!ストレートだ!

ちがーーーーーう!!

こんなのはロイヤルではない。

ただのストレートだ。

コップに入った綺麗な水に泥水を一滴でも入れると飲めなくなる。

純粋なスライムたちを汚す王冠。

これさえなければ・・・!

しかし、悔やんだところで時は戻せない。

僕はディーラーから3000ゴールドを貰い、強く握りしめるのだった。

 

・・・というストレートを2回ほど見ました。

思わせぶりはやめてほしい限りである。

ちなみにフォーカードは4回ほど見た気がします。

とりあえず試行回数が足りないので続けてみます。

投稿日:2021827

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あーく
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使える数学、面白い数学の分かりやすい解説を心がけています。

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