ドラゴンクエストのポーカーでロイヤルストレートフラッシュになる確率を最大化する交換とは？

経緯

ドラゴンクエスト11では、カジノのポーカーでロイヤルストレートフラッシュをすることで称号を得ることができます。

しかし、ロイヤルストレートフラッシュがあまりにも出ないので、どうすれば確率を最大化できるかを考えました。

例えば、手札にエースが1枚あるとき、他のスート狙いで全交換した方がよいのか、それともエースと同じスートを集めた方がよいのか、直感的にわからないことがあります。

なので、手札の状況ごとにどのように交換すればロイヤルストレートフラッシュが出る確率が高いのかを計算してみました。

計算していると、あるルールが見えてきたので紹介しようと思います。

ドラクエのポーカーのルール

他にも、ワンペアはブタとみなす、シリーズによっては役にロイヤルストレートスライムや5スライムがある、などのルールがありますが、ここでは無関係なので省略します。

結論

以下のルールを守れば確率を最大化できます。

上記のルールに従ったときの確率は以下の通り

確率の単位は%です。これでも。

計算

上記のルールに従うほど揃う確率が高くなることを確認します。

ここから、全通りの計算をしますが、長いので飛ばしても構いません。

用語など説明
・JK：ジョーカーのことです。
Jだけだとジャックと紛らわしいのでJKにします。
女子高生ではありません。
・素材：ロイヤルストレートフラッシュの役となり得るカード（A、10、J、Q、K、JK）です。
・全交換：手札をすべて捨て、5枚交換することです。
・スートA：トランプのスート$♠$、$♥$、$♦$、$♣$のどれかの素材1枚を表します。
スートAからスートDまで存在しますが、例えばスートAとスートBは別スートとみなします。
スートA×2は、同じスートの素材が2枚あることを表しています。
・JK+スートA×2+スートB：これは手札にJKが1枚、スートAの素材が2枚、スートBの素材が1枚ある場合です。
・A残し3枚交換：手札のスートAを何枚か残し、3枚を交換するという意味です。
スートAが2枚ある場合はスートAを2枚残し、他の3枚を捨てます。
スートAが3枚ある場合はスートAを1枚と他の2枚を捨てることになります。
全通りを調べる必要があるため、手札にある素材を捨てたり、JKを捨てたりすることも許します。
ただし、ロイヤルストレートフラッシュとなる確率が0になるような捨て方はしないものとします。
・${}_{48}{\mathrm{C}}_n$：53枚のカードから最初に手札5枚を引くと48枚になります。その48枚のカードからn枚のカードを引いたときの場合の数です。
例えば、3枚引いたとすると${}_{48}{\mathrm{C}}_3=\frac{48!}{45!3!}=\frac{48・47・46}{6}=8・2162=17296$通りあります。
・$\frac{43!4!}{48!}$：どの場合の確率も持っている共通因数です。
確率を比較しやすくするために使います。

以下、手札に素材がどのくらい入っているかで場合分けします。

手札に素材が0枚

全交換

$$\frac{ロイヤルストレートフラッシュとなる通り}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{(スートAの素材5枚とJK)から5枚選ぶ\times スート4種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_5\times 4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{24・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{120・43!4!}{48!} ー\mathrm{⓪}$$

手札に素材が1枚

スートA

全交換

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から5枚選ぶ+(スートB\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1+{}_6{\mathrm{C}}_5\times 3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{19・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{95・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{5・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} ー\mathrm{①}$$

JK

全交換

$$\frac{(スートA\times 5)から5枚選ぶ\times スート4種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{4・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{20・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 5)から4枚選ぶ\times スート4種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4\times 4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{20・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{880・43!4!}{48!} ー{\mathrm{①}}^{\prime }$$

手札に素材が2枚

スートA+スートB

全交換

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から5枚選ぶ\times スート2種+(スートC\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1\times 2+{}_6{\mathrm{C}}_5\times 2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{14・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{70・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

スートA×2

全交換

$$\frac{(スートB\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_5\times 3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{18・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{90・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{4・45!3!}{48!}$$
$$=\frac{45・44・43!4!}{48!}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} ー\mathrm{②}$$

JK+スートA

全交換

$$\frac{(スートB\times 5)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{3・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{15・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 4)から4枚選ぶ+(スートB\times 5)から4枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1+{}_5{\mathrm{C}}_4\times 3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{16・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{704・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

手札に素材が3枚

スートA+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から5枚選ぶ\times スート3種+(スートD\times 5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{3+{}_6{\mathrm{C}}_5}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{9・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{45・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBまたはCを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

スートA×2+スートB

全交換

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から5枚選ぶ+(スートC\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1+{}_6{\mathrm{C}}_5\times 2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{13・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{65・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

スートA×3

全交換

$$\frac{(スートB\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_5\times 3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{18・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{90・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 2とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{45!3!}{48!}$$
$$=\frac{45・44・43!3!}{48!}$$
$$=\frac{45・11・43!4!}{48!}$$
$$=\frac{495・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA\times 2とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_2}$$
$$=\frac{3・46!2!}{48!}$$
$$=\frac{46・45・44・43!3!}{48!}$$
$$=\frac{46・45・11・43!4!}{48!}$$
$$=\frac{22770・43!4!}{48!} ー\mathrm{③}$$

JK+スートA+スートB

全交換

$$\frac{(スートC\times 5)から5枚選ぶ\times スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{2・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{10・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 4)から4枚選ぶ\times スート2種+(スートC\times 5)から4枚選ぶ\times スート2種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1\times 2+{}_5{\mathrm{C}}_4\times 2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{12・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{528・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

JK+スートA×2

全交換

$$\frac{(スートB\times 5)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{3・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{15・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB\times 5)から4枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4\times 3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{15・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{660・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{45!3!}{48!}$$
$$=\frac{495・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=A残し3枚交換と同じ$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA\times 3)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_2}$$
$$=\frac{22770・43!4!}{48!} (\mathrm{③})$$

手札に素材が4枚

スートA+スートB+スートC+スートD

全交換

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から5枚選ぶ\times スート4種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{4・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{20・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBまたはCまたはDを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

スートA×2+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から5枚選ぶ\times スート2種+(スートD\times 5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{2+{}_6{\mathrm{C}}_5}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{8・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{40・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換(Bの代わりにCを残しても同確率)

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

スートA×2+スートB×2

全交換

$$\frac{(スートC\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_5\times 2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{12・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{60・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

スートA×3+スートB

全交換

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から5枚選ぶ+(スートC\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1+{}_6{\mathrm{C}}_5\times 2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{13・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{65・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 2とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{45!3!}{48!}$$
$$=\frac{495・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA\times 2とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$=\frac{22770・43!4!}{48!} (\mathrm{③})$$

スートA×4

全交換

$$\frac{(スートB\times 5とJK)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_6{\mathrm{C}}_5\times 3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{18・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{90・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA\times 1とJK)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_2}$$
$$=\frac{46!2!}{48!}$$
$$=\frac{46・45・44・43!2!}{48!}$$
$$=\frac{46・15・11・43!4!}{48!}$$
$$=\frac{7590・43!4!}{48!}$$

A残し1枚交換

$$\frac{(スートA\times 1とJK)から1枚選ぶ}{山札48枚から1枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_2{\mathrm{C}}_1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_1}$$
$$=\frac{2・47!1!}{48!}$$
$$=\frac{47・46・45・44・43!2!}{48!}$$
$$=\frac{47・46・15・11・43!4!}{48!}$$
$$=\frac{356730・43!4!}{48!} ー\mathrm{④}$$

JK+スートA+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートD\times 5)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{43!5!}{48!}$$
$$=\frac{5・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBまたはCを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 4)から4枚選ぶ\times スート3種+(スートD\times 5)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{3+{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{8・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{352・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換(Aの代わりにBまたはCを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

JK+スートA×2+スートB

全交換

$$\frac{(スートC\times 5)から5枚選ぶ\times スート2種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{2・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{10・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換

$$\frac{(スートB\times 4)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB\times 4)から4枚選ぶ+(スートC\times 5)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1+{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{6・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{264・43!4!}{48!}$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{45!3!}{48!}$$
$$=\frac{495・43!4!}{48!}$$

JK、A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=A残し3枚交換と同じ$$

JK、B残し3枚交換

$$\frac{(スートB\times 4)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_4{\mathrm{C}}_3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_3}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA\times 3)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_{48}{\mathrm{C}}_2}$$
$$=\frac{22770・43!4!}{48!} (\mathrm{③})$$

JK+スートA×3

全交換

$$\frac{(スートB\times 5)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{3・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{15・43!4!}{48!}$$

JK残し4枚交換

$$\frac{(スートB\times 5)から4枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4\times 3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{15・44!4!}{48!}$$
$$=\frac{660・43!4!}{48!}$$

A残し2枚交換

$$\frac{(スートA\times 2)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_2}$$
$$=\frac{46!2!}{48!}$$
$$=\frac{7590・43!4!}{48!}$$

JK、A残し2枚交換

$$\frac{(スートA\times 2)から2枚選ぶ}{山札48枚から2枚引くパターン数}$$
$$=A残し2枚交換と同じ$$

JK、A残し1枚交換

$$\frac{(スートA\times 2)から1枚選ぶ}{山札48枚から1枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_2{\mathrm{C}}_1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_1}$$
$$=\frac{356730・43!4!}{48!} (\mathrm{④})$$

手札に素材が5枚

スートA×5、JK+スートA×4のパターンは、交換する必要がないので除きます

スートA×2+スートB+スートC+スートD

全交換

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から5枚選ぶ\times スート3種}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{3}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{3・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{15・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換(Bの代わりにCまたはDを残しても同確率)

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

A残し3枚交換

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

スートA×2+スートB×2+スートC

全交換

$$\frac{(スートC\times 4とJK)から5枚選ぶ+(スートD\times 5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1+{}_6{\mathrm{C}}_5}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{7・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{35・43!4!}{48!}$$

A残し4枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{44!4!}{48!}$$
$$=\frac{44・43!4!}{48!}$$

C残し4枚交換

$$\frac{(スートC\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$

A残し3枚交換(Aの代わりにBを残しても同確率)

$$\frac{(スートA\times 3とJK)から3枚選ぶ}{山札48枚から3枚引くパターン数}$$
$$=\frac{1980・43!4!}{48!} (\mathrm{②})$$

スートA×3+スートB+スートC

全交換

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から5枚選ぶ\times スート2種+(スートD\times 5とJK)から5枚選ぶ}{山札48枚から5枚引くパターン数}$$
$$=\frac{2+{}_6{\mathrm{C}}_5}{{}_{48}{\mathrm{C}}_5}$$
$$=\frac{8・43!5!}{48!}$$
$$=\frac{40・43!4!}{48!}$$

B残し4枚交換(Bの代わりにCを残しても同確率)

$$\frac{(スートB\times 4とJK)から4枚選ぶ}{山札48枚から4枚引くパターン数}$$
$$=\frac{{}_5{\mathrm{C}}_4}{{}_{48}{\mathrm{C}}_4}$$
$$=\frac{220・43!4!}{48!} (\mathrm{①})$$