「いっせーのーせ」
と、遊んだ記憶があると思います。
今回は指スマで勝てる確率を計算します。
ルールです。
結論
残っている自分以外の指の本数を$n$本、宣言した数を$x$とおくと、宣言した数が当たる確率は
$$\frac{ {}_{n} \mathrm{ C }_x }{2^{n}}$$
となり、宣言した数が$\frac{n}{2}$に近づくほど確率は高くなっていく
また、$n$が小さいほど当たる確率は高くなる
自分の指はコントロール可能なことを考慮すると、自分以外の指の本数が重要となる
残っている自分以外の指の本数を$n$本とする
全ての指の立て方は、指を立てる、立てないの2通りが$n$本分あると考えると
$$2^{n}$$
実際に宣言した数を$x$とすると、当たる確率は
$$\frac{ {}_{n} \mathrm{ C }_x }{2^{n}} (1< n \in \mathbb{N})$$
${}_{n} \mathrm{ C }_x$の性質上、$x$は$\frac{n-m+1}{2}$に近づくほど確率は高くなっていく
また、$n$が小さいほど当たる確率は高くなる