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指スマで宣言した数が当たる確率

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「いっせーのーせ」

と、遊んだ記憶があると思います。

今回は指スマで勝てる確率を計算します。

指スマとは

ルールです。

  1. プレイヤー2人以上で行う
  2. 両手をグーにし、親指を上にする
  3. プレイヤーの1人は自分のターンになると、「いっせーのーせ」のかけ声の後に任意の数を言い、各プレイヤーは任意の数だけ親指を立てる、または立てない
    かけ声は「指スマ」でもよい
  4. 宣言した数字と、立ててある親指の数が一致していれば、そのターンのプレイヤーは片手をしまい、もう片手だけで行う
    既に片手の場合は、その片手をしまい、勝利となる
  5. 一番最初に両手をしまったプレイヤーの勝ち
    あるいは、一番最後に残ったプレイヤーの負け

指スマで宣言した数が当たる確率

結論

残っている自分以外の指の本数を$n$本、宣言した数を$x$とおくと、宣言した数が当たる確率は
$$\frac{ {}_{n} \mathrm{ C }_x }{2^{n}}$$
となり、宣言した数が$\frac{n}{2}$に近づくほど確率は高くなっていく
また、$n$が小さいほど当たる確率は高くなる

自分の指はコントロール可能なことを考慮すると、自分以外の指の本数が重要となる

残っている自分以外の指の本数を$n$本とする

全ての指の立て方は、指を立てる、立てないの2通りが$n$本分あると考えると

$$2^{n}$$

実際に宣言した数を$x$とすると、当たる確率は

$$\frac{ {}_{n} \mathrm{ C }_x }{2^{n}} (1< n \in \mathbb{N})$$

${}_{n} \mathrm{ C }_x$の性質上、$x$$\frac{n-m+1}{2}$に近づくほど確率は高くなっていく

また、$n$が小さいほど当たる確率は高くなる

投稿日:202198

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あーく
あーく
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使える数学、面白い数学の分かりやすい解説を心がけています。

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