y^2 = x^3 - 1 の整数解

$y^2=x^3-1$ の整数解

$(y+i)(y-i) = x^3$ と書くと、$y+i$ と $y-i$ の公約数は $(y+i)-(y-i) = 2i$ を割り切らねばならない。つまり、$y+i$ と $y-i$ の（整除関係の意味での）最大公約数は $1$ か $1+i$ である。

$y$ が偶数のとき

$||y\pm i||$ が奇数なので、$y\pm i$ は $1+i$ を約数に持たない。ということで素因数分解の一意性により $y+i$ と $y-i$ はともに立方数であり、 $y+i = (a+bi)^3$, $y-i = (a-bi)^3$ と書ける。虚部に着目すると $1 =a^2b-b^3 = (a+b)(a-b)b$。 $1$ は $-1$ および $1$ でしか割り切れないので、$b$ で場合分けすると $(a,b) = (0,1), (0,-1)$ しかないことが明らか。いずれにせよ $(x,y)=(1,0)$。

$y$ が奇数のとき

このとき $x$ は偶数。ゆえに $y^2 \equiv -1 {\pmod 4}$ だがこれは解無し。