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高校数学解説
文献あり

y^2 = x^3 - 1 の整数解

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y2=x31 の整数解

(y+i)(yi)=x3 と書くと、y+iyi の公約数は (y+i)(yi)=2i を割り切らねばならない。つまり、y+iyi の(整除関係の意味での)最大公約数は 11+i である。

y が偶数のとき

||y±i|| が奇数なので、y±i1+i を約数に持たない。ということで素因数分解の一意性により y+iyi はともに立方数であり、 y+i=(a+bi)3, yi=(abi)3 と書ける。虚部に着目すると 1=a2bb3=(a+b)(ab)b11 および 1 でしか割り切れないので、b で場合分けすると (a,b)=(0,1),(0,1) しかないことが明らか。いずれにせよ (x,y)=(1,0)

y が奇数のとき

このとき x は偶数。ゆえに y21(mod4) だがこれは解無し。

参考文献

投稿日:2021910
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  1. $y^2=x^3-1$ の整数解
  2. 参考文献