(y+i)(y−i)=x3 と書くと、y+i と y−i の公約数は (y+i)−(y−i)=2i を割り切らねばならない。つまり、y+i と y−i の(整除関係の意味での)最大公約数は 1 か 1+i である。
||y±i|| が奇数なので、y±i は 1+i を約数に持たない。ということで素因数分解の一意性により y+i と y−i はともに立方数であり、 y+i=(a+bi)3, y−i=(a−bi)3 と書ける。虚部に着目すると 1=a2b−b3=(a+b)(a−b)b。 1 は −1 および 1 でしか割り切れないので、b で場合分けすると (a,b)=(0,1),(0,−1) しかないことが明らか。いずれにせよ (x,y)=(1,0)。
このとき x は偶数。ゆえに y2≡−1(mod4) だがこれは解無し。
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