y^2 = x^3 - 1 の整数解

$y^2=x^3-1$ の整数解

$(y+i)(y-i)=x^3$ と書くと、$y+i$ と $y-i$ の公約数は $(y+i)-(y-i)=2i$ を割り切らねばならない。つまり、$y+i$ と $y-i$ の（整除関係の意味での）最大公約数は $1$ か $1+i$ である。

$y$ が偶数のとき

$||y\pm i||$ が奇数なので、$y\pm i$ は $1+i$ を約数に持たない。ということで素因数分解の一意性により $y+i$ と $y-i$ はともに立方数であり、 $y+i=(a+bi{)}^3$, $y-i=(a-bi{)}^3$ と書ける。虚部に着目すると $1=a^{2}b-b^3=(a+b)(a-b)b$。 $1$ は $-1$ および $1$ でしか割り切れないので、$b$ で場合分けすると $(a,b)=(0,1),(0,-1)$ しかないことが明らか。いずれにせよ $(x,y)=(1,0)$。

$y$ が奇数のとき

このとき $x$ は偶数。ゆえに $y^2\equiv -1(\mathrm{mod}4)$ だがこれは解無し。