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特殊な置換積分 ∫[0,π] sin(x/2)√sin(x) dx

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

Twitterで投稿した問題の解説です.

$$ \int_0^\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{\sin x}\ dx $$

解答

求める値を$I$とします. $x=\pi-t$とおくと,
$$\begin{eqnarray} I&=&\int_\pi^0\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}\right)\sqrt{\sin (\pi-t)}\ (-dt)\\ &=&\int_0^\pi\cos\left(\frac{t}{2}\right)\sqrt{\sin t}\ dt \end{eqnarray}$$よって,
$$\begin{eqnarray} I&=&\frac{1}{2}\big(I+I\big)\\ &=&\frac{1}{2}\int_0^\pi\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)\sqrt{\sin x}\ dx \end{eqnarray}$$

ここで, $\displaystyle u=\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}$ とおくと $$ du=\frac{1}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)dx$$ であり,
$$\begin{eqnarray}u^2&=&\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\\ &=&1-\sin x \end{eqnarray}$$
より$\sin x=1-u^2$なので
$$ I=\int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}\ du $$これは半径1の半円の面積に等しいので
$$ \int_0^\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{\sin x}\ dx=\frac{\pi}{2} $$が答えとなります.

おまけ

上記と同様の計算をすることで, 次の等式が証明できます.

$$ \int_0^\pi f(\sin x)\sin\frac{x}{2}\ dx=\int_0^\pi f(\sin^2 x)\sin x\ dx=2\int_0^1f(1-x^2)\ dx $$

以上になります. ありがとうございました!

投稿日:2021914

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Kay
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