&&&exc 
$n \in \mathbb{N},m \in \mathbb{N},k\in \mathbb{N}$とする。
$$
  \sum_{k=0}^{n}  (-1)^{k}\binom{n}{k}  \frac{1}{k+m+1}= \sum_{k=0}^{m}  (-1)^{k}\binom{m}{k}  \frac{1}{k+n+1} 
$$
を示せ。
&&&


&&&prf 
$$
\int_{0}^{1}t^{k+m}dt=\frac{1}{k+m+1}
$$
であるから、
$$\sum_{k=0}^{n}  (-1)^{k}\binom{n}{k}  \frac{1}{k+m+1} \\
=\sum_{k=0}^{n}  (-1)^{k}\binom{n}{k}\int_{0}^{1}t^{k+m}dt \\
=\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{n}  (-1)^{k}\binom{n}{k}t^{k+m}dt \\
=\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{n}  (-t)^{k}\binom{n}{k}t^{m}dt \\
=\int_{0}^{1}(1-t)^nt^{m}dt\\
$$
ここで、$1-t=s$と置換して
$$
=\int_{0}^{1}s^n(1-s)^{m}ds\\
=\int_{0}^{1}s^n\sum_{k=0}^{k}  (-1)^{k}\binom{m}{k}{s}^{k}ds\\
=\sum_{k=0}^{n}  (-1)^{k}\binom{m}{k}\int_{0}^{1}{s}^{k+n}ds\\
=\sum_{k=0}^{m}  (-1)^{k}\binom{m}{k}  \frac{1}{k+n+1}　
$$
&&&


自作1

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