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各項が平方数となる数列について

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三項間漸化式$$ a_{n+2} =p a_{n+1}+q a_{n} を満たす数列 \lbrace a_{n} \rbrace の一般項は $$

$$ a_{n}=A \alpha ^{n} + B\beta ^{n} (A,B はconst, α,βは特性方程式の異なる2解) $$

$$ ここで数列 \lbrace a_{n } ^{2} \rbrace を満たす漸化式を考える。 $$
$$ a_{n+2 } ^{2}=(pa_{n+1 }+qa_{n })^{2} \Longleftrightarrow a_{n+2 } ^{2}=p ^{2}a_{n+1 } ^{2}+q ^{2}a_{n} ^{2}+2pqa_{n+1 } a_{n } \cdots ① $$
$$またq a_{n-1}=a_{n+1 }-pa_{n}(n \geq 2)より $$
$$ q ^{2} a_{n-1} ^{2} =( a_{n+1} -p a_{n}) ^{2} \Longleftrightarrow q ^{2} a_{n-1} ^{2} = a_{n+1} ^{2}+p^{2} a_{n} ^{2} -2pa_{n+1} a_{n } \cdots ② $$
①+②×qとn→n+1として

$$ a_{n+3} ^{2} =(p ^{2} +q)a_{n+2} ^{2}+(q ^{2} +p ^{2}q)a_{n+1} ^{2}-q ^{3}a_{n} ^{2} \cdots ③ $$

$$ b_{n} = a_{n} ^{2} とすれば b_{n+3} =(p^{2}+q)b_{n+2} +(q^{2}+p^{2}q) b_{n+1} -q^{3}b_{n} $$

また$$ a_{n } ^{2} =(A \alpha ^{n} +B \beta ^{n})^{2} = A^{2}(\alpha ^{2})^{n} +B^{2}(\beta ^{2})^{n}+2AB( \alpha \beta ) ^{n} $$より③の特性方程式の3解が$$ \alpha ^{2}, \beta ^{2} ,\alpha \beta と一致することは \alpha + \beta =p, \alpha \beta =-q であることと、 解と係数の関係より直ちに確認できる $$
以上のことから

$$ p,q \in \mathbb{Z} ,b _{1} ,b _{2},b _{3}が平方数であるとき $$

$$ b_{n+3} =(p^{2}+q)b_{n+2} +(q^{2}+p^{2}q) b_{n+1} -q^{3}b_{n} $$
$$ を満たす数列 \lbrace b _{n} \rbrace は各項が平方数である $$

投稿日:20211013

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