各項が平方数となる数列について

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三項間漸化式 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n} を満たす数列 {a_{n}} の一般項は$

$a_{n} = A α^{n} + B β^{n} （ A, B は c o n s t ， α, β は特性方程式の異なる 2 解）$

$ここで数列 {a_{n}^{2}} を満たす漸化式を考える。$
$a_{n + 2}^{2} = (p a_{n + 1} + q a_{n})^{2} ⟺ a_{n + 2}^{2} = p^{2} a_{n + 1}^{2} + q^{2} a_{n}^{2} + 2 p q a_{n + 1} a_{n} \dots ①$
$また q a_{n - 1} = a_{n + 1} - p a_{n} (n \geq 2) より$
$q^{2} a_{n - 1}^{2} = (a_{n + 1} - p a_{n})^{2} ⟺ q^{2} a_{n - 1}^{2} = a_{n + 1}^{2} + p^{2} a_{n}^{2} - 2 p a_{n + 1} a_{n} \dots ②$
①＋②×qとn→n+1として

$a_{n + 3}^{2} = (p^{2} + q) a_{n + 2}^{2} + (q^{2} + p^{2} q) a_{n + 1}^{2} - q^{3} a_{n}^{2} \dots ③$

$b_{n} = a_{n}^{2} とすれば b_{n + 3} = (p^{2} + q) b_{n + 2} + (q^{2} + p^{2} q) b_{n + 1} - q^{3} b_{n}$

また $a_{n}^{2} = (A α^{n} + B β^{n})^{2} = A^{2} (α^{2})^{n} + B^{2} (β^{2})^{n} + 2 A B (α β)^{n}$ より③の特性方程式の3解が $α^{2} ， β^{2} ， α β と一致することは α + β = p, α β = - q であることと、解と係数の関係より直ちに確認できる$
以上のことから