この記事は,相加相乗平均の不等式(以下,AM-GM不等式)の証明を新たに知ったので,自分用メモとして書かれました.この証明は,吉田洋一氏によります.
正の実数a1,a2,⋯,anに対し,次が成り立つ.a1a2⋯ann≤a1+a2+⋯+annまた,等号はa1=a2=⋯=anのときに限り成立する.
nに関する数学的帰納法による.まず,n=2のときは,等号成立条件も含め既知とする.そこでn=kのときを仮定して,n=k+1の場合を証明する.x>0の関数f(x)=(a1+a2+⋯+ak+xk+1)k+1−a1a2⋯ak⋅xを考え,f(x)≥0を示せばよい.f(x)の導関数f′(x)=(a1+a2+⋯+ak+xk+1)k−a1a2⋯akはxについて単調増加である.したがって,もしf′(x)≥0ならばf(x)は単調増加関数で,f(x)>f(0)=(a1+a2+⋯+akk+1)k+1>0となる.f′(x)<0としよう.f′の単調性と合わせると,方程式f′(x)=0はただ1つの正の解x0を持つ.ところが,明らかに,x0=(k+1)a1a2⋯akk−(a1+a2+⋯+ak)f(x0)=a1a2⋯ak(a1+a2+⋯+ak−ka1a2⋯akk)である.したがって,帰納法の仮定によって,f(x)≥f(x0)≥0となる.等号が成立すると,とくにf(x0)=0であるから,ふたたび帰納法の仮定を用いて,a1=a2=⋯=ak=xが得られる.
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