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相加相乗平均の不等式の証明

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この記事は，相加相乗平均の不等式(以下，AM-GM不等式)の証明を新たに知ったので，自分用メモとして書かれました．
この証明は，吉田洋一氏によります．

AM-GM不等式

正の実数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ に対し，次が成り立つ．
$\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$
また，等号は $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ のときに限り成立する．

$n$ に関する数学的帰納法による．まず， $n = 2$ のときは，等号成立条件も含め既知とする．そこで $n = k$ のときを仮定して， $n = k + 1$ の場合を証明する．
$x > 0$ の関数
$f (x) = {(\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + x}{k + 1})}^{k + 1} - a_{1} a_{2} \dots a_{k} \cdot x$
を考え， $f (x) \geq 0$ を示せばよい．
$f (x)$ の導関数
$f^{'} (x) = {(\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} + x}{k + 1})}^{k} - a_{1} a_{2} \dots a_{k}$
は $x$ について単調増加である．したがって，もし $f^{'} (x) \geq 0$ ならば $f (x)$ は単調増加関数で，
$f (x) > f (0) = {(\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}}{k + 1})}^{k + 1} > 0$
となる．
$f^{'} (x) < 0$ としよう． $f^{'}$ の単調性と合わせると，方程式 $f^{'} (x) = 0$ はただ1つの正の解 $x_{0}$ を持つ．ところが，明らかに，
$x_{0} = (k + 1) \sqrt[k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k}} - (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k})$
$f (x_{0}) = a_{1} a_{2} \dots a_{k} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} - k \sqrt[k]{a_{1} a_{2} \dots a_{k}})$
である．したがって，帰納法の仮定によって， $f (x) \geq f (x_{0}) \geq 0$ となる．
等号が成立すると，とくに $f (x_{0}) = 0$ であるから，ふたたび帰納法の仮定を用いて，
$a_{1} = a_{2} = \dots = a_{k} = x$
が得られる．