相加相乗平均の不等式の証明

$n$に関する数学的帰納法による．まず，$n=2$のときは，等号成立条件も含め既知とする．そこで$n=k$のときを仮定して，$n=k+1$の場合を証明する．
$x>0$の関数
$$f(x)=\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k+x}{k+1}\right)^{k+1}-a_1a_2\cdots a_k\cdot x$$
を考え，$f(x)\geq0$を示せばよい．
$f(x)$の導関数
$$f'(x)=\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k+x}{k+1}\right)^{k}-a_1a_2\cdots a_k$$
は$x$について単調増加である．したがって，もし$f'(x)\geq0$ならば$f(x)$は単調増加関数で，
$f(x)>f(0)=\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k+1}\right)^{k+1}>0$
となる．
$f'(x)<0$としよう．$f'$の単調性と合わせると，方程式$f'(x)=0$はただ1つの正の解$x_0$を持つ．ところが，明らかに，
$$x_0=(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}-(a_1+a_2+\cdots+a_k)$$
$$f(x_0)=a_1a_2\cdots a_k(a_1+a_2+\cdots+a_k-k\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k})$$
である．したがって，帰納法の仮定によって，$f(x)\geq f(x_0)\geq0$となる．
等号が成立すると，とくに$f(x_0)=0$であるから，ふたたび帰納法の仮定を用いて，
$$a_1=a_2=\cdots=a_k=x$$
が得られる．