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高校数学解説
文献あり

相加相乗平均の不等式の証明

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この記事は,相加相乗平均の不等式(以下,AM-GM不等式)の証明を新たに知ったので,自分用メモとして書かれました.
この証明は,吉田洋一氏によります.

AM-GM不等式

正の実数a1,a2,,anに対し,次が成り立つ.
a1a2anna1+a2++ann
また,等号はa1=a2==anのときに限り成立する.

nに関する数学的帰納法による.まず,n=2のときは,等号成立条件も含め既知とする.そこでn=kのときを仮定して,n=k+1の場合を証明する.
x>0の関数
f(x)=(a1+a2++ak+xk+1)k+1a1a2akx
を考え,f(x)0を示せばよい.
f(x)の導関数
f(x)=(a1+a2++ak+xk+1)ka1a2ak
xについて単調増加である.したがって,もしf(x)0ならばf(x)は単調増加関数で,
f(x)>f(0)=(a1+a2++akk+1)k+1>0
となる.
f(x)<0としよう.fの単調性と合わせると,方程式f(x)=0はただ1つの正の解x0を持つ.ところが,明らかに,
x0=(k+1)a1a2akk(a1+a2++ak)
f(x0)=a1a2ak(a1+a2++akka1a2akk)
である.したがって,帰納法の仮定によって,f(x)f(x0)0となる.
等号が成立すると,とくにf(x0)=0であるから,ふたたび帰納法の仮定を用いて,
a1=a2==ak=x
が得られる.

参考文献

[1]
杉浦,清水,金子,岡本, 解析演習, 基礎数学, 東京大学出版会, 1989, pp.27-28
投稿日:20211014
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