ラプラシアンについて

Riemann 多様体の場合

多様体の上に計量を定めるとベクトル場や微分形式の内積を計算できるようになります．

$\mathbb{R}^2$ での計算例 (1 形式)

具体的に $\mathbb{R}^2$ の計量 $g$ を $g=dx^2+dy^2$ によって定めます．
これは次のことを意味します．

1. ベクトル場 $\xi=\xi_1(\partial/\partial x)+\xi_2(\partial/\partial y)$ と $\eta=\eta_1(\partial/\partial x)+\eta_2(\partial/\partial y)$ の内積 $\langle \xi,\eta\rangle$ は
   $$\langle\xi,\eta\rangle=\xi_1\eta_1+\xi_2\eta_2$$
   で計算できる．
2. 1 形式 $u=u_1dx+u_2dy$ と $v=v_1dx+v_2dy$ の内積 $\langle u,v\rangle$ は
   $$\langle u,v\rangle=u_1v_1+u_2v_2$$
   で計算できる．

各点ごとの内積が計算できれば，それを積分することで大域的な内積を定義できます．
たとえば $u,v$ を $\mathbb{R}^2$ 上の 1 形式とするとき，積分が収束する範囲で，
$$\langle\!\langle u,v\rangle\!\rangle=\int_{\mathbb{R}^2} \langle u,v\rangle dxdy=\int_{\mathbb{R}^2}(u_1v_1+u_2v_2)dxdy$$
と定義します．

そうすると今度は外微分 $d\colon C^\infty(\mathbb{R}^2)\to C^\infty_1(\mathbb{R}^2)$ の形式的随伴 $d^\ast\colon C^\infty_1(\mathbb{R}^2)\to C^\infty(\mathbb{R}^2)$ を計算することができます．
$u$ を滑らかな 1 形式とするとき，関数 $d^\ast u$ を
$$\langle\!\langle d^\ast u,f\rangle\!\rangle=\langle\!\langle u,df\rangle\!\rangle=\int_{\mathbb{R}^2}\left(u_1\frac{\partial f}{\partial x}+u_2\frac{\partial f}{\partial y}\right)dxdy,~~f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^2)$$
が成り立つものとして定めます．これは部分積分により具体的に計算することができます．$f$ にコンパクト台を仮定しているので境界項がないことに注意して，
$$\int_{\mathbb{R}^2}\left(u_1\frac{\partial f}{\partial x}+u_2\frac{\partial f}{\partial y}\right)dxdy=\int_{\mathbb{R}^2}-\left(\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}\right)fdxdy$$
ですから，$d^\ast u=-(\partial u_1/\partial x+\partial u_2/\partial y)$ となります．ここから我々がよく見るラプラシアンが出てきます：
$$ d^\ast df= d^\ast\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\right)=-\left(\frac{\partial^2f}{\partial^2x}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right).$$

$\mathbb{R}^2$ での計算例 (2 形式)

先ほどと同じ計量 $g=dx^2+dy^2$ を用います．2 形式の空間における計量は 1 形式の正規直交基底 (枠) $dx$ と $dy$ のウェッジ積 $dx\wedge dy$ が正規直交基底 (いまは一次元なので長さ 1 だけが条件) になるように定めます．すなわち $u=u_{12}dx\wedge dy$, $v=v_{12}dx\wedge dy$ に対して
$$\langle u,v\rangle=u_{12}v_{12}$$
と定義します．そうするとやはり大域的な内積が積分によって定まり，$d$ の形式的随伴 $d^\ast$ が定義できます．今の場合 2 形式を 1 形式に写す微分作用素が $d^\ast$ で，具体的に計算すれば
$$d^\ast u=\frac{\partial u_{12}}{\partial y}dx-\frac{\partial u_{12}}{\partial x}dy$$
となります．先ほどは関数に対するラプラシアンを定義しましたが，1 形式に対するラプラシアンは $dd^\ast+d^\ast d$ という形をとり (というより関数に対しては2項目が落ちると考えるのが良いかもしれませんが)，
$$ (dd^\ast+d^\ast d)(u_1dx+u_2dy)=-\left\{\left(\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2}\right)dx+\left(\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2}\right)dy\right\}$$
という風に，各係数のラプラシアンをとる形をしています．

一般の多様体での議論

多様体で積分をするときは 1 の分割によって座標近傍上の話を貼り合わせるので本質的には同じです．

Hermite 多様体の場合

少し手順は複雑になりますが，複素多様体の上にも計量を定めることができます．

$\mathbb{C}$ での計算例

$\mathbb{C}$ を $\mathbb{R}^2$ だと考えて，計量 $g$ を $g=(dx^2+dy^2)$ によって定めます．

この計量を複素座標 $z=x+{\rm i}y$ を使って表してみましょう．ここで一般に，1 形式 $\omega,\eta$ に対して $\omega\eta=(\omega\otimes\eta+\eta\otimes\omega)/2$ であったことを思い出します．
$$dx^2=dx\otimes dx=\left(\frac{dz+d\overline{z}}{2}\right)\otimes\left(\frac{dz+d\overline{z}}{2}\right)=\frac{1}{4}(dz^2+2dzd\overline{z}+d\overline{z}^2),$$
$$dy^2=dy\otimes dy=\left(\frac{dz-d\overline{z}}{2{\rm i}}\right)\otimes\left(\frac{dz-d\overline{z}}{2{\rm i}}\right)=-\frac{1}{4}(dz^2-2dzd\overline{z}+d\overline{z}^2)$$
ですから，$g=dzd\overline{z}$ と書くことができます．先に注意したように複素接ベクトル $\partial/\partial z$ を測るには，次のように第二変数に複素共役をつけて計算します．
$$\left\langle\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial z}\right\rangle=g\biggl(\frac{\partial}{\partial z},\overline{\frac{\partial}{\partial z}}\biggr)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial \overline{z}}{\partial\overline{z}}+\frac{\partial z}{\partial\overline{z}}\frac{\partial\overline{z}}{\partial z}\right)=\frac{1}{2}$$
計算結果からわかるように，$\partial/\partial x$ の長さを 1 としたとき，$\partial/\partial z$ の長さは $1/\sqrt{2}$ になります．これは次の図を考えると当たり前です．
三平方の定理 in $T_p\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{C}$
したがって双対基底である $dz,d\overline{z}$ の長さはどちらも $\sqrt{2}$ になるため，たとえば $u=u_1dz+u_2d\overline{z}$, $v=v_1dz+v_2d\overline{z}$ の内積を計算すると
$$\langle u,v\rangle =2(u_1\overline{v_1}+u_2\overline{v_2})$$ となります．

$\overline{\partial}$ 作用素

複素多様体を考えるときには，$dz$ を $(1,0)$ 形式，$d\overline{z}$ を $(0,1)$ 形式と呼んで，微分形式に次数二つを対応させます．これにしたがって微分作用素 $d$ は $d=\partial +\overline{\partial}$ と分解します．具体的には
$$df=\partial f+\overline{\partial}f,~~~~\partial f=\frac{\partial f}{\partial z}dz,~~\overline{\partial}f=\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}d\overline{z}$$
となります．たとえば $f$ が正則であることは $\overline{\partial}f=0$ と同値なので，複素幾何では $\overline{\partial}$ が大事にされます．そこで $d$ のラプラシアンの類似として次のように定義します．

$\mathbb{C}$ での計算例 (続き)

$\overline{\partial}^\ast$ を具体的に計算してみましょう．$\overline{\partial}$ は関数を $(0,1)$ 形式に写すので，滑らかな $(0,1)$ 形式 $u=u_{1}d\overline{z}$ に $\overline{\partial}^\ast$ を作用させると関数が返ってきます．したがって関数 $f\in C_0^\infty(\mathbb{C})$ と内積をとって
$$\langle\!\langle \overline{\partial}^\ast u,f\rangle\!\rangle=\langle\!\langle u,\overline{\partial} f\rangle\!\rangle=\int_{\mathbb{C}}2u_1\overline{\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}}dxdy=\int_{\mathbb{C}}2u_1\frac{\partial \overline{f}}{\partial z}dxdy=\int_{\mathbb{C}}-2\frac{\partial u_1}{\partial z}\overline{f}dxdy$$
が得られて、$\overline{\partial}^\ast u=-2\dfrac{\partial u_1}{\partial z}$ が分かりました．

関数に $\square$ を作用させると
$$\square f=\overline{\partial}^\ast\overline{\partial}f=\overline{\partial}^\ast\left(\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}d\overline{z}\right)=-2\dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial\overline{z}}=-\dfrac12\left(\frac{\partial f^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)$$
となり，この場合にもラプラシアンが得られました．しかし $d$ ラプラシアンと比較すると係数に $1/2$ がついています．これは $\langle dz,dz\rangle=2$ と
$$\frac{\partial^2}{\partial z\partial\overline{z}}=\frac14\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$$
に由来します．

一般の複素多様体での議論

一般の複素多様体でも $\square=(dd^\ast+d^\ast d)/2$ という関係があるかというと，一般には NO です．しかし Kähler 計量といういい計量の元では YES になります．

証明はしませんが，Kähler 計量 $g$ を与えたときに，任意の点 $x$ に対して $x$ を中心とする座標系 $(z^j)$ であって，その座標に関して Kähler 計量を表示したとき $I+O(|z|^2),~~|z|\to0$ の形になるものが取れることがポイントになります．これまでに行なった微分はどれも一階まででしたから，一階の微分が消える計量があると結果をそっくりそのまま多様体上に移植できるのです．