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0.999...=1 ?

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はじめに

0.999=1
この数式について、いつ見てもモヤモヤした違和感がぬぐえないので
実数や極限について、つらつら考えてみたことを残しておきます。

モチベーションとしては、直感による
0.9991
を正当化した上で、実用的には
lim(0.999)=1
を使用するのが良いと納得するのが目的。

学力が上がれば考えが変わる可能性もありますが、それはご愛嬌ということで。

この記事は直感的なイメージを書き留めたものであって、まともな論理展開はできてないと思います。ご了承ください。

稚拙な議論でも「極限アレルギー」の同志のみなさんの参考になればと思います。

なお、
通常は0.999は極限を意味しますが
今回の議論では
0.999は極限ではないものとし、極限はlim(0.999)のように表すことにします。

数の拡張と実数について

僕なりの数のイメージをまとめておく。自然数から始まって、段々と拡張されてきた感じ。

自然数(和と積について閉じている)
の演算について閉じたい → 整数(負の数を追加)
÷の演算について閉じたい → 有理数(分数を追加)

この時点で、数の集合は四則演算について閉じたが
数直線が埋まらないことは知られていた。

穴を埋めるにはどうすれば良いか?
大学数学では「コーシー列」とか「デデキントの切断」というものを学ぶらしいが、
学のない僕には詳細は分からないので、それについては語らない。

聞きかじった内容を僕なりに解釈すると

「無限回の四則演算について集合が閉じるよう数を拡張する
                (有限の値に収束しないものは考えない)」
ってことだと思う。

僕のイメージでは、
(収束する)無限回の四則演算を有限回で打ち切ったものがコーシー列をなす。
コーシー列は、数直線上で特定の点に限りなく近づいていく動点であり、
その先にある静止した点が実数という感じ。

そのイメージでいくと、無限大と無限小も動点である、と考えるのが良さそう。

その上で「収束する動点は、行先の静点と同一視しましょう」というのが
数学の主流な考え方なんだと思う。

最終的に得られた実数の集合は
「無限回を含む(有限の値に収束する)四則演算について閉じた、性質の良い集合」
であり、その要素は(無限)小数で一意に表せる。

0.999

先の議論における「静点と動点の同一視」に抵抗がある、というのが
僕を含む「極限アレルギー」の人の感覚なんだと思う。つまり
0.999は動点で、1は静点だから違うものだよね」ということである。
その世界観では
0.999は「1に限りなく近い量」であり、無限小εを導入すると、
0.999=1ε
と書ける。これと1との間で平均をとると
1+(1ε)2=1ε2
となるが、これも「1に限りなく近い量」であり、小数表記すると「0.999」となる。
この議論から、無限小を含む体系では「同一の小数表記だが別物」という状況が存在することが分かる。
なんか扱い難そうだし、そもそも静点ではないので、これらは実数ではないと考える。
これは「1に限りなく近い量と1との間に実数は存在しない」という直感にも矛盾しない。

これを念頭に、初等的な次の議論を考察する。

c=0.999
とおくと
10c=9.999c=0.999
辺々の差から
9c=9
よって
c=1
したがって0.999=1

この議論をもとに無限小εを使って検討すると
c=1ε
であり
10c=1010ε=9+(110ε)
である。これをみると、上の議論では
1ε110εはともに小数として"0.999"と表記されるから同じものだよね」
という、雑な評価がなされていることが分かる。

小数表記について

簡単のために繰り上がりを考える必要のない小数について考える。
2=lim(1.41421356)
無限小εを使って
2ε=1.41421356
また、別の無限小εをもってきて2+εを考えても
2+ε=1.41421356
のように同じ小数表記をもつと考えられる(差は無限小なので)。
したがって「2および、その無限小の近傍」は同じ小数表記を持つと考えられる。

このことから、
1つの小数表記に対して「実数とその無限小の近傍を含んだ集合」が対応する
と解釈することができる。
すると0.9991.000は同じものを表しているという見方ができる。

ここまでくると、あとはお気持ちの問題で、

1と、その無限小の近傍」は、繰り上がりの関係でたまたま2つの小数表記を持っているだけで、本質的に同じものなので
0.999=1

とするか、

無限小の差によって表記上の繰り上がりが生じる場合には
例外的に「実数と、その+側の近傍」と「実数の側の近傍」で小数表記が分かれる
よって厳密には
0.9991
である

とするか
好みで決めれば良い気がしてきた。

直感的には下の方が好みだが、上の方が全体の整合性がとれる感じがするので
悩ましいところ。

重要なのは、極限としての実数なので、そこまで考慮すると上の方がスッキリするのかな。

結論

以上の議論から0.999は「何か実数ではない量」であると考える。
ただ、

「何か実数ではない量」では扱い難いので、できるだけ実数として扱いたい。
大抵の場合「何か実数ではない量」を「限りなく近い実数」で読み替えても問題ない。

よって

「限りなく実数αに近い量」を実数αとみなす

というのが極限の考え方である、と解釈すれば、
極限の議論も多少は受け入れ易くなるかも

おまけ

今回の議論とは直接関係ないが、
数のイメージで、無限大は数直線上の動点と解釈したいという話をした。
動点の動き方によって色々な無限大が存在すると考えられる。
それらのと実数(複素数?)の間にイイカンジの対応が存在して、
ゼータ関数と元の級数(発散するやつ)との関係を説明できる
みたいなことがあると面白いのにな、とか考える今日この頃

おわりに

無限大と無限小を数とみなして「超実数」というものを定義した
超準解析という理論があるそうです。
いつか理解できたら良いな

投稿日:2024420
更新日:2024420
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tanu
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