0.999...=1 ?

はじめに

$$0.999\cdots =1$$
この数式について、いつ見てもモヤモヤした違和感がぬぐえないので
実数や極限について、つらつら考えてみたことを残しておきます。

モチベーションとしては、直感による
$$0.999\cdots \neq 1$$
を正当化した上で、実用的には
$$\lim(0.999\cdots)=1$$
を使用するのが良いと納得するのが目的。

学力が上がれば考えが変わる可能性もありますが、それはご愛嬌ということで。

この記事は直感的なイメージを書き留めたものであって、まともな論理展開はできてないと思います。ご了承ください。

稚拙な議論でも「極限アレルギー」の同志のみなさんの参考になればと思います。

なお、
通常は$0.999 \cdots$は極限を意味しますが
今回の議論では
$0.999 \cdots$は極限ではないものとし、極限は$\lim(0.999 \cdots)$のように表すことにします。

数の拡張と実数について

僕なりの数のイメージをまとめておく。自然数から始まって、段々と拡張されてきた感じ。

自然数（和と積について閉じている）
$-$の演算について閉じたい →　整数(負の数を追加)
$÷$の演算について閉じたい →　有理数（分数を追加）

この時点で、数の集合は四則演算について閉じたが
数直線が埋まらないことは知られていた。

穴を埋めるにはどうすれば良いか？
大学数学では「コーシー列」とか「デデキントの切断」というものを学ぶらしいが、
学のない僕には詳細は分からないので、それについては語らない。

聞きかじった内容を僕なりに解釈すると

「無限回の四則演算について集合が閉じるよう数を拡張する
　　　　　　　　　　　　　　　　（有限の値に収束しないものは考えない）」
ってことだと思う。

僕のイメージでは、
（収束する）無限回の四則演算を有限回で打ち切ったものがコーシー列をなす。
コーシー列は、数直線上で特定の点に限りなく近づいていく動点であり、
その先にある静止した点が実数という感じ。

そのイメージでいくと、無限大と無限小も動点である、と考えるのが良さそう。

その上で「収束する動点は、行先の静点と同一視しましょう」というのが
数学の主流な考え方なんだと思う。

最終的に得られた実数の集合は
「無限回を含む（有限の値に収束する）四則演算について閉じた、性質の良い集合」
であり、その要素は(無限)小数で一意に表せる。

$0.999\dots$

先の議論における「静点と動点の同一視」に抵抗がある、というのが
僕を含む「極限アレルギー」の人の感覚なんだと思う。つまり
「$0.999\dots$は動点で、$1$は静点だから違うものだよね」ということである。
その世界観では
$0.999\dots$は「$1$に限りなく近い量」であり、無限小$\varepsilon$を導入すると、
$$0.999 \cdots=1-\varepsilon$$
と書ける。これと$1$との間で平均をとると
$$\frac{1+(1-\varepsilon)}{2}=1-\frac{\varepsilon}{2}$$
となるが、これも「$1$に限りなく近い量」であり、小数表記すると「$0.999 \cdots$」となる。
この議論から、無限小を含む体系では「同一の小数表記だが別物」という状況が存在することが分かる。
なんか扱い難そうだし、そもそも静点ではないので、これらは実数ではないと考える。
これは「$1$に限りなく近い量と$1$との間に実数は存在しない」という直感にも矛盾しない。

これを念頭に、初等的な次の議論を考察する。

この議論をもとに無限小$\varepsilon$を使って検討すると
$$c = 1- \varepsilon$$
であり
\begin{align} 10c &= 10-10 \varepsilon \\ &= 9+(1-10\varepsilon) \\ \end{align}
である。これをみると、上の議論では
「$1- \varepsilon$と$1-10\varepsilon$はともに小数として"$0.999 \cdots$"と表記されるから同じものだよね」
という、雑な評価がなされていることが分かる。

小数表記について

簡単のために繰り上がりを考える必要のない小数について考える。
$$\sqrt{2}=\lim(1.41421356 \dots)$$
無限小$\varepsilon$を使って
$$\sqrt{2}-\varepsilon=1.41421356 \cdots$$
また、別の無限小$\varepsilon'$をもってきて$\sqrt{2}+\varepsilon'$を考えても
$$\sqrt{2}+\varepsilon'=1.41421356 \cdots$$
のように同じ小数表記をもつと考えられる（差は無限小なので）。
したがって「$\sqrt{2}$および、その無限小の近傍」は同じ小数表記を持つと考えられる。

このことから、
1つの小数表記に対して「実数とその無限小の近傍を含んだ集合」が対応する
と解釈することができる。
すると$0.999 \cdots$と$1.000 \cdots$は同じものを表しているという見方ができる。

ここまでくると、あとはお気持ちの問題で、

とするか、

とするか
好みで決めれば良い気がしてきた。

直感的には下の方が好みだが、上の方が全体の整合性がとれる感じがするので
悩ましいところ。

重要なのは、極限としての実数なので、そこまで考慮すると上の方がスッキリするのかな。

結論

以上の議論から$0.999 \cdots$は「何か実数ではない量」であると考える。
ただ、

というのが極限の考え方である、と解釈すれば、
極限の議論も多少は受け入れ易くなるかも

おまけ

今回の議論とは直接関係ないが、
数のイメージで、無限大は数直線上の動点と解釈したいという話をした。
動点の動き方によって色々な無限大が存在すると考えられる。
それらの$\infty$と実数(複素数？)の間にイイカンジの対応が存在して、
ゼータ関数と元の級数（発散するやつ）との関係を説明できる
みたいなことがあると面白いのにな、とか考える今日この頃

おわりに

無限大と無限小を数とみなして「超実数」というものを定義した
超準解析という理論があるそうです。
いつか理解できたら良いな