4sinx+3cos3x-2 = 0 を解く

https://twitter.com/Akumonkimon/status/1451255613778890756 に載っていた。面白そうなのでやってみる。

楽な解

グラフを書いてみると、少なくとも $\frac{\pi}{6} + 2n\pi$ と $\frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ を解に持つことが分かるので、$4\sin x+3\cos3x-2$ から $\sin x - \sin \frac{\pi}{6}$ がくくり出せるという期待を持てる。

ということで実際にやってみると、$4\sin x+3\cos3x-2 = 2(2-3\left(2\sin x+1\right)\cos x)(\sin x - \sin \frac{\pi}{6})$ と書けることがわかり、少なくとも $\frac{\pi}{6} + 2n\pi$ と $\frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ を解に持つことが分かる。

楽ではない解

困ったことに、残った $2-3\left(2\sin x+1\right)\cos x$ は零点を持つようだ。具体的には $-0.163 + 2n\pi$ と $1.343 + 2n\pi$ 辺りで零点を持つらしい。

これを調べるために、とりあえず $u = \tan\frac{x}{2}$ と置いてみると、四次方程式 $2\left(1+u^{2}\right)^{2}-3\left(1+4u+u^{2}\right)\left(1-u^{2}\right) = 0$ の解を調べればいいことが分かる。うわぁ。とりあえず正の実数解と負の実数解を持つらしいので、それぞれ $u_{+} \approx 0.794$ および $u_{-} \approx -0.082$ と置くことにする。ちゃんと $2\tan^{-1}\left(u_{\pm}\right)$ として先ほどの $-0.163$ と $1.343$ が復元できることを確認しておく。

展開すると $5u^{4}+12u^{3}+4u^{2}-12u-1 = 0$。きれいに解く手段が思いつかないので Wolfram Alpha に投げたところ、

$$u_{\pm} = -\frac{3}{5}+\frac{1}{10\sqrt{\frac{3}{68+5\left(11152-72\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}+10\left(1394+9\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}}}}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{136}{75}-\frac{1}{15}\left(11152-72\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{15}\left(1394+9\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}+\frac{408}{25}\sqrt{\frac{3}{68+5\left(11152-72\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}+10\left(1394+9\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}}}}$$

とのことである。

結論

$4\sin x+3\cos 3x-2 = 0$の実数解は、

• $\frac{\pi}{6} + 2n\pi$
• $\frac{5\pi}{6} + 2n\pi$
• $2\tan^{-1}\left(-\frac{3}{5}+\frac{1}{10\sqrt{\frac{3}{68+5\left(11152-72\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}+10\left(1394+9\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}}}}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{136}{75}-\frac{1}{15}\left(11152-72\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{15}\left(1394+9\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}+\frac{408}{25}\sqrt{\frac{3}{68+5\left(11152-72\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}+10\left(1394+9\sqrt{12723}\right)^{\frac{1}{3}}}}}\right) + 2n\pi$

ただし$n$は任意の整数。