4sinx+3cos3x-2 = 0 を解く

https://twitter.com/Akumonkimon/status/1451255613778890756 に載っていた。面白そうなのでやってみる。

楽な解

グラフを書いてみると、少なくとも $\frac{\pi }{6}+2n\pi$ と $\frac{5\pi }{6}+2n\pi$ を解に持つことが分かるので、$4\sin x+3\cos 3x-2$ から $\sin x-\sin \frac{\pi }{6}$ がくくり出せるという期待を持てる。

ということで実際にやってみると、$4\sin x+3\cos 3x-2=2(2-3(2\sin x+1)\cos x)(\sin x-\sin \frac{\pi }{6})$ と書けることがわかり、少なくとも $\frac{\pi }{6}+2n\pi$ と $\frac{5\pi }{6}+2n\pi$ を解に持つことが分かる。

楽ではない解

困ったことに、残った $2-3(2\sin x+1)\cos x$ は零点を持つようだ。具体的には $-0.163+2n\pi$ と $1.343+2n\pi$ 辺りで零点を持つらしい。

これを調べるために、とりあえず $u=\tan \frac{x}{2}$ と置いてみると、四次方程式 $2{(1+u^2)}^2-3(1+4u+u^2)(1-u^2)=0$ の解を調べればいいことが分かる。うわぁ。とりあえず正の実数解と負の実数解を持つらしいので、それぞれ $u_{+}\approx 0.794$ および $u_{-}\approx -0.082$ と置くことにする。ちゃんと $2{\tan }^{-1}\left(u_{\pm }\right)$ として先ほどの $-0.163$ と $1.343$ が復元できることを確認しておく。

展開すると $5u^4+12u^3+4u^2-12u-1=0$。きれいに解く手段が思いつかないので Wolfram Alpha に投げたところ、

$$u_{\pm }=-\frac{3}{5}+\frac{1}{10\sqrt{\frac{3}{68+5{(11152-72\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}+10{(1394+9\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}}}}\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{136}{75}-\frac{1}{15}{(11152-72\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{15}{(1394+9\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}+\frac{408}{25}\sqrt{\frac{3}{68+5{(11152-72\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}+10{(1394+9\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}}}}$$

とのことである。

結論

$4\sin x+3\cos 3x-2=0$の実数解は、

• $\frac{\pi }{6}+2n\pi$
• $\frac{5\pi }{6}+2n\pi$
• $2{\tan }^{-1}(-\frac{3}{5}+\frac{1}{10\sqrt{\frac{3}{68+5{(11152-72\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}+10{(1394+9\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}}}}\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{136}{75}-\frac{1}{15}{(11152-72\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{15}{(1394+9\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}+\frac{408}{25}\sqrt{\frac{3}{68+5{(11152-72\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}+10{(1394+9\sqrt{12723})}^{\frac{1}{3}}}}})+2n\pi$

ただし$n$は任意の整数。