【中学生にオススメ】 平方根の「もう少し精度の良い」近似値評価

まず，$\sqrt{81} < \sqrt{87}$．すなわち，$9 < \sqrt{87}$より，$\sqrt{87}$の整数部分は$9$と解る．

次に，この$9$の2倍，すなわち，$18$を分母とし，それぞれのルートの中身：$81,\ 87$の差$6$を分子とする分数$6/18 = 1/3 = 0.33...$が$\sqrt{87}$の小数部分となる．

これより，$\sqrt{87} \simeq 9.33... $を得る．

まず，
$$ \varepsilon := \sqrt{p} -\sqrt{n} \tag{1} \label{def_error} $$
なる$\varepsilon$を定めることで，$p$は次のようにかける：
$$ \sqrt{p} = \sqrt{n} + \varepsilon \tag{2} \label{p} $$
式(\ref{def_error})に対し，分子の有理化を行う．すなわち，
$$ \varepsilon = \sqrt{p} -\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{p} -\sqrt{n})(\sqrt{p}+\sqrt{n})}{\sqrt{p}+\sqrt{n}} = \frac{p - n}{\sqrt{p}+\sqrt{n}} $$
を得る．

次に，式(\ref{p})の両辺に$\sqrt{n}$を加えることで，
$$ \sqrt{p} +\sqrt{n} > 2\sqrt{n} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{p} +\sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}} $$
を得る．これより，$\varepsilon$は
$$ \varepsilon = \frac{p - n}{\sqrt{p}+\sqrt{n}} < \frac{p - n}{2\sqrt{n}} $$
なる上からの評価を得る．
したがって，
$$ \sqrt{p} = \sqrt{n} + \varepsilon < \sqrt{n} + \frac{p-n}{2 \sqrt{n}} $$
となり，結論を得る．$\square$

$f(x) := \sqrt{x} $なる関数$f$を定めると，その微分$f'$は
$$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
となる．
ここで，$a=p,\ b=n$として，先に挙げた平均値の定理を用いると，$\exists c$ s.t.
$$ \frac{f(p)-f(n)}{p-n} = f'(c) \Leftrightarrow \frac{\sqrt{p}-\sqrt{n}}{p-n} = \frac{1}{2\sqrt{c}}, \quad (n < c < p) \tag{3} \label{mean-value_thm} $$
である．特に，$n < c$であることから
$$ \sqrt{p} = \sqrt{n} + \frac{p-n}{2 \sqrt{c}} < \sqrt{n} + \frac{p-n}{2 \sqrt{n}} $$
となり，結論を得る．$\square$

平均値の定理を用いた命題１の証明過程で式(\ref{mean-value_thm})を得た．$n < c < p$，特に，$c < p$であることから
$$ \sqrt{p} = \sqrt{n} + \frac{p-n}{2 \sqrt{c}} > \sqrt{n} + \frac{p-n}{2 \sqrt{p}} $$
となる．先に$\sqrt{p} < P$による評価を得ているとき，
$$ \sqrt{p} > \sqrt{n} + \frac{p-n}{2 \sqrt{p}} > \sqrt{n} + \frac{p-n}{2 P} $$
となり，結論を得る．$\square$

まず，命題１より，$\sqrt{87} < {28}/{3}$を得る．これより，
$$ \sqrt{87} > 9 + \frac{6}{2 \times ({28}/{3})} = 9 + \frac{9}{28} = 9.3214... $$
を得る．