折り紙で三次方程式が解ける理由

はじめに

この記事では、折り紙で三次方程式が解ける仕組みについて解説したいと思います。
と言っても何の話だか良く分からないので、より身近な例で考えてみます。

作図の話

コンパスと定規で作図することを考えます。このとき長さ$1$の線分と長さ$a$の線分が与えられれば、長さ$\sqrt a$の線分を作図することができます。
直径$1+a$の円を書いて、直径の端から距離$1$の点を通る直径の垂線を引いて、円との交点との距離を見れば良いですね。
このようにして、コンパスと定規による作図では、平方根の組み合わせによって表される長さを作図することができます。
従って、長さ$a,b$が与えられた時に二次方程式$x^2+ax+b=0$の解を作図することができます。これは、直線(定規)と円(コンパス)との交点が、二次方程式を解くことによって求まる事に由来していますね。逆に二次方程式を解くという作業を、円と直線の交点を求める事に言い換えてしまえば、二次方程式の解はとても簡単に作図できます。

折り紙だとどうなるか

折り紙で方程式を解くことを考えましょう。紙があれば正方形は作れるので、一辺$1$の正方形の紙で折ることを考えます。

一次方程式の場合

有理数$\frac mn$が作図出来れば良い訳ですが、長さの整数倍は簡単なので、つまりは$\frac1n$が作図出来れば良い訳です。実際、以下の手順で作図することができます。但し、$k$は、$n-1 \leq 2^k$となるような整数とし、正方形の紙は上下左右に辺が来るように置いてあるものし、左上の頂点から反時計回りに$A,B,C,D$とします。

辺の三等分

二次方程式の場合

長方形の斜辺を使ったり、コンパスと定規で作図した時と同じ仕組みを使ったりすれば平方根も作れることが分かります。しかしその具体的な方法は本題ではないので解説はしません。(すみません)

新たな視点

折り紙で二次方程式を解く事ができた訳ですが、円と直線の交点が二次方程式を解く事によって求まったように、折り筋も何らかの高次方程式の解と関係があるはずです。しかし、紙には様々な折り方があり統一的に考えるのは難しいです。そこで、次の折り方に限定して考えてみます。
ある点をある直線に重ねるように折る
具体例を見てみましょう。折り紙の下の辺を、ある点に重ねる折り方を考えます。
点と直線を重ねる
図では、赤い辺を中央下の点に重ねています。同じ点と辺でも、勿論別の折り方もあります。
別の折り方
そして、折り筋を増やしていくと、なんと一つの放物線が浮かび上がります！これが折り紙で高次方程式を解くカギとなります。
折り筋の包絡線
数学的に考えてみましょう。幾何的にもできますが、これはよくある通過領域の問題ですね。

$a$が実数全体を動くとき、点$F(0,1)$と直線$l:y=-1$上の点$P(2a,-1)$を結ぶ線分の垂直二等分線$m$が通過する領域を求めます。
線分$FP$の中点は$(a,0)$で、$m$の傾きは$a$なので$m:y=a(x-a)$であることが分かります。ですから点$(x,y)$を$m$が通過することの必要十分条件は$a$についての二次方程式
$a^2-ax+y=0$
に実数解が存在することなので、$m$は$x^2-4y\geq 0$、つまり
$y\leq \frac14x^2$
を通過することになります。

これを踏まえると、点と直線を重ねるように折ることは、その点を焦点、直線を準線とした放物線の接線を引くことに他なりません。

三次方程式へ

では新たに、次の折り方を考えます。
二つの点をそれぞれ二つの別の直線に重ねるように折る
例を見てみましょう。
二つの点を二つの直線に重ねる
図では、右側の点を縦向きの直線に、左側の点を横向きの直線(正方形の底辺)に重ねるように折っています。先ほどの話を踏まえると、この中には二つの放物線が隠れているはずです。見てみましょう。
二つの放物線
そうです、折り筋は、この二つの放物線の共通接線に他なりません！
そして、放物線の共通接線は三次方程式を解くことで求まります。つまり、この折り方をすることで三次方程式を解くことができるという事になります。
二つの放物線には最大三本の共通接線がありますので、二点を二直線に重ねる折り方は最大で3通りあります。今回はそのパターンで、あと二通りの折り方がありますね。

おわりに

折り紙で三次方程式を解けるということは、三乗根の作図や角の三等分ができ、コンパスと定規では作図できない正七角形なども折れるということです。具体的な方法も面白いので、気になった方は是非調べてみてください！
最後まで読んでいただきありがとうございました。