自作問題No.31

問題

半径が$1$、中心角が$\theta$($0<\theta <2\pi$)の扇形を用いて円錐の側面をつくり、底面に適当なぴったりの大きさの円を貼り付けて円錐$C$とした。円錐$C$に球$S_1$を内接させ、以降$n,k$を自然数とし($1\le k\le n-1$)、球$S_{k+1}$を円錐$C$の側面と球$S_k$に内接させ円錐$C$の頂点に向かって合計$n$個の球$S_1,S_2,\cdots ,S_n$を入れる。球$S_n$の体積を$v_n$、$\theta$を動かしたときの$v_n$の最大値を$V_n$とおく。このとき、極限値${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^3{V}_n}$を求めよ。