自作問題No.33

問題

0でない実数$p,q$と虚数$\alpha$、自然数$n$に対して複素数列$\{z_n\}$を$z_1=\alpha ,{\displaystyle z_{n+1}=\frac{z_n}{p{z}_n+q}}$で定め、複素数平面上に点${\mathrm{A}}_n(z_n)$をとる。$n$個の点${\mathrm{A}}_1(z_1),{\mathrm{A}}_2(z_2),\cdots ,{\mathrm{A}}_n(z_n)$すべてを通る円が存在することを示せ。ただし任意の$n$に対して${\displaystyle z_n\ne -\frac{q}{p}}$である。