自作問題No.33

問題

0でない実数$p,q$と虚数$\alpha$、自然数$n$に対して複素数列$\{z_n\}$を$z_1=\alpha,\displaystyle z_{n+1}=\frac{z_n}{pz_n+q}$で定め、複素数平面上に点$\mathrm{A}_n(z_n)$をとる。$n$個の点$\mathrm{A}_1(z_1),\mathrm{A}_2(z_2),\cdots,\mathrm{A}_n(z_n)$すべてを通る円が存在することを示せ。ただし任意の$n$に対して$\displaystyle z_n\neq -\frac{q}{p}$である。