無限積が0の例

$b_1,b_2,b_3,\ldots\in (0,1)$が$\sum_{k=1}^\infty b_k=+\infty$を満たすとき、$\prod _{k=1}^\infty\left(1-b_k\right)=0$.

$f(x)=e^{-x}-(1-x)$とおくと$f'(x)=1-e^{-x}$なので$f(x)\geq f(0)=0$.
つまり$1-x\leq e^{-x}$なので$n\to +\infty$のとき
$$ \prod _{k=1}^n\left(1-b_k\right)\leq\prod _{k=1}^n e^{-b_k}=e^{-\sum_{k=1}^n b_k}\to 0. $$

投稿日：2021年11月3日