無限積が0の例

$b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots \in (0, 1)$ が $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} = + \infty$ を満たすとき、 $\prod_{k = 1}^{\infty} (1 - b_{k}) = 0$ .

$f (x) = e^{- x} - (1 - x)$ とおくと $f^{'} (x) = 1 - e^{- x}$ なので $f (x) \geq f (0) = 0$ .
つまり $1 - x \leq e^{- x}$ なので $n \to + \infty$ のとき
$\prod_{k = 1}^{n} (1 - b_{k}) \leq \prod_{k = 1}^{n} e^{- b_{k}} = e^{- \sum_{k = 1}^{n} b_{k}} \to 0.$

投稿日：2021年11月3日