そろそろ誰かに解いてほしい自作問題(未解決)

　1から$n\left(\geq 3\right)$までの整数が書かれたカードが$1$枚ずつある。この時、以下の条件を満たしながらカードを$1$枚ずつ取り除いていくことを考える。

　条件

1. どの時点においても「カードに書かれた数の$3$乗和」が「カードに書かれた数の和」で割り切れる
2. $1$と$n$のカードは最後の$2$枚になるまで残す

　この時、条件を満たしながらカードがなくなるまで取り除くことができるような$n$は無数に存在するか？

　例えば$n=6$の場合$3\rightarrow 4\rightarrow 5\rightarrow 2\rightarrow 1\rightarrow 6$の順に取ることで条件を満たしながらカードがなくなるまで取り除くことができる。