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そろそろ誰かに解いてほしい自作問題(未解決)

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$$$$

だいぶ前に作った自作問題です。自分でも分からないまま放置しているのでそろそろ誰かに解いてほしい... 

だいぶ前に作ったやつ

 1から$n\left(\geq 3\right)$までの整数が書かれたカードが$1$枚ずつある。この時、以下の条件を満たしながらカードを$1$枚ずつ取り除いていくことを考える。

 条件

  1. どの時点においても「カードに書かれた数の$3$乗和」が「カードに書かれた数の和」で割り切れる
  2. $1$$n$のカードは最後の$2$枚になるまで残す

 この時、条件を満たしながらカードがなくなるまで取り除くことができるような$n$は無数に存在するか?

 例えば$n=6$の場合$3\rightarrow 4\rightarrow 5\rightarrow 2\rightarrow 1\rightarrow 6$の順に取ることで条件を満たしながらカードがなくなるまで取り除くことができる。

取り除いたカードカードに書かれた数の3乗和カードに書かれた数の和
初期条件44121
341418
435014
52259
22177
12166
6$-$$-$
注意の見出し

 今のところ$n=3$$n=6$しか見つかっていません。優秀な友達に$n=10$くらいまでプログラムを組んでもらいましたが、見つからなかった記憶があります。

投稿日:2021114

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