cos(rπ)∈ℚとなるr∈ℚについて

$r=\frac{b}{a}$とする.ただし$a$と$b$は互いに素とする.$0<r<1$より$a\ge 2$としてよい.

1. $a=2$のとき
   $0<r<1$より$b=1$であり,$a_2=a_3=-\frac{1}{2}$となり題意を満たす.

2. $a\ge 3$のとき
   $a_n$を既約分数で表したときの分母が狭義単調増加であることを示す.
   第$n$項まで$a_n$の分母が狭義単調増加であると仮定したとき, $a_n$の分母は$3$以上である.
   よって,$a_n=\frac{d}{c}(c\perp d)$とするとき,$c\ge 3$であり,
   $$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}& =2a_n^2-1\\ & =2\frac{d^2}{c^2}-1\\ & =\frac{2d^2-c^2}{c^2}\end{array}$$
   ここでユークリッドの互除法より$gcd(2d^2-c^2,c^2)=gcd(2d^2,c^2)$であり,$gcd(c,d)=1$であることを考えれば$gcd(2d^2,c^2)=1or2$である.($c$が奇数のとき$1$,偶数のとき$2$)
   よって$a_{n+1}$の分母は$\frac{c^2}{2}$以上であり,$c\ge 3$のとき$\frac{c^2}{2}>c$が成り立つので$a_n$の分母は狭義単調増加である.よって$a\ge 3$のとき$a_i=a_j$なる$i,j\in \mathbb{N}(i\ne j)$は存在しない.

$\cos x\pi =y(x,y\in \mathbb{Q})$とし,$y$を既約分数で表したときの分母が$3$以上とする.
$\beta =x\pi$とする.$x$は有理数より,$k\beta \equiv 0(mod2\pi )$となる$k\in \mathbb{N}$が存在する.
ここで$k$が$2$で割り切れる最大回数を$v_2(k)$と表すとすると,$k$は奇数$l$を用いて$k=2^{v_2(k)}l$と表せる.よって$2^{v_2(k)}\beta l\equiv 0$である.
ここで$l$は奇数より,$2$と互いに素なのでオイラーの定理から,$2^{\phi (l)}-1$は$l$の倍数である.よって$2^{\phi (l)}-1=al$となる$a\in \mathbb{N}$が存在する.$2^{v_2(k)}\beta l\equiv 0$より$2^{v_2(k)}\beta al\equiv 0$,よって$2^{v_2(k)}\beta (2^{\phi (l)}-1)\equiv 0$.
しかし仮定より$\cos \beta =y\in \mathbb{Q}$であり,$y$を既約分数で表したときの分母は$3$以上より補題$2$で$\alpha =\beta ,n=v_2(k),m=\phi (l)$としたときの$2^{v_2(k)}\beta (2^{\phi (l)}-1)\not\equiv 0$に矛盾.よって$\cos x\pi =y(x,y\in \mathbb{Q})$のとき,$y$を既約分数で表したときの分母が$3$以上になることはない.