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n番目の素数の大きさは n logn

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$f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$$\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1$を満たすとき$f\sim g$書く.

素数を小さい順に$p_1,p_2,\ldots$と書き,$n$以下の素数の個数を$\pi(n)$で表す.

例えば$p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$であり,

  • $\pi(1)=0$
  • $\pi(2)=|\{2\}|=1$
  • $\pi(3)=\pi (4)=|\{2,3\}|=2$
  • $\pi(5)=\pi(6)=|\{2,3,5\}|=3$
    である.

以下は同値.

  1. $\pi(n)\sim\frac{n}{\log n}$
  2. $p_n\sim n\log n$

簡単な計算.

1は有名な素数定理の主張. 2はその書き換えですが,何故かあまり知られていないような気がします.

投稿日:2021119

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usagiop
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