対数積分Li(x)のx→0,1,∞における挙動について

$$\begin{array}{rcl}\log x& =& {\int }_1^x\frac{1}{u}du\\ & =& {\int }_1^x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ut}dtdu\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}{t}\end{array}$$
とわかる。

$$\begin{array}{rcl}\gamma & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-kt}dt-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{-t}-e^{-nt})\frac{dt}{t})\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}{t})dt-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{e^{-nt}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-nt}}{t})dt\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}{t})dt\end{array}$$
とわかる。

　補題2において$e^{-t}=u$と変数変換すると、$-e^{-t}dt=du$なので
$$\begin{array}{rcl}\gamma & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t})e^{-t}dt\\ & =& -{\int }_1^0(\frac{1}{1-u}-\frac{1}{-\log u})du\\ & =& {\int }_0^1(\frac{1}{\log u}-\frac{1}{u-1})du\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}{\int }_0^{1+h}(\frac{1}{\log t}-\frac{1}{t-1})dt\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}({\int }_0^{1+h}\frac{dt}{\log t}-[\log |t-1|{]}_0^{1+h})\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}(\mathrm{Li}(1+h)-\log |h|)\end{array}$$
とわかる。

　$a^x=1+h$とおくと
$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{lim}(\mathrm{Li}(a^x)-\log |x|)& =& \underset{h\to 0}{lim}(\mathrm{Li}(1+h)-\log \left|\frac{\log (1+h)}{\log a}\right|)\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}(\mathrm{Li}(1+h)-\log |h|)+\log |\log a|+\underset{h\to 0}{lim}\log \left|\frac{\log (1+h)}{h}\right|\\ & =& \gamma +\log |\log a|+\log 1\\ & =& \gamma +\log |\log a|\end{array}$$
とわかる。

$x\to 0$について

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Li}(x)& =& {\left[\frac{t}{\log t}\right]}_0^x-{\int }_0^{x}t(-\frac{1}{t{\log }^{2}t})dt\\ & =& \frac{x}{\log x}+{\int }_0^x\frac{dt}{{\log }^{2}t}\end{array}$$
であって、$0<t<x<1$において$0<-\log x<-\log t$より
$$\left|{\int }_0^x\frac{dt}{{\log }^{2}t}\right|\le \frac{x}{{\log }^{2}x}$$
なので主張を得る。

$x\to \mathrm{\infty }$について

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Li}(x)& =& {\left[\frac{t}{\log t}\right]}_2^x+{\int }_2^x\frac{dt}{{\log }^{2}t}+\mathrm{Li}(2)\\ & =& \frac{x}{\log x}+{\int }_2^x\frac{dt}{{\log }^{2}t}+O(1)\end{array}$$
であって、
$$\begin{array}{rcl}\left|{\int }_2^x\frac{dt}{{\log }^{2}t}\right|& \le & {\int }_2^{\sqrt{x}}\frac{dt}{{\log }^{2}t}+{\int }_{\sqrt{x}}^x\frac{dt}{{\log }^{2}t}\\ & \le & \frac{\sqrt{x}-2}{{\log }^{2}2}+\frac{x-\sqrt{x}}{{\log }^2\sqrt{x}}=O\left(\frac{x}{{\log }^{2}x}\right)\end{array}$$
なので主張を得る。