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高校数学解説
文献あり

対数積分Li(x)のx→0,1,∞における挙動について

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では対数積分
$$\Li(x)=\int^x_0\frac{dt}{\log t}$$
$x\to1$において
$$\Li(x)=\log|x-1|+\g+o(1)$$
と近似できることを示します。ここで$\g$はオイラー定数$\lim_{n\to\infty}(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n)$としました。
 ついでに$x\to0$および$x\to\infty$において
$$\Li(x)=\frac x{\log x}+O\l(\frac{x}{\log^2x}\r)$$
と近似できることを示します。

オイラー定数の変形

$\dis\log x=\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}t$

\begin{eqnarray} \log x&=&\int^x_1\frac1udu \\&=&\int^x_1\int^\infty_0e^{-ut}dtdu \\&=&\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}t \end{eqnarray}
とわかる。

$\dis\g=\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt$

\begin{eqnarray} \g&=&\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r) \\&=&\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\int^\infty_0e^{-kt}dt-\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-nt})\frac{dt}t\r) \\&=&\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt -\lim_{n\to\infty}\int^\infty_0\l(\frac{e^{-nt}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-nt}}t\r)dt \\&=&\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt \end{eqnarray}
とわかる。

対数積分の挙動について

$\dis\lim_{h\to0}(\Li(1+h)-\log|h|)=\g$

 補題2において$e^{-t}=u$と変数変換すると、$-e^{-t}dt=du$なので
\begin{eqnarray} \g&=&\int^\infty_0\l(\frac1{1-e^{-t}}-\frac1t\r)e^{-t}dt \\&=&-\int^0_1\l(\frac1{1-u}-\farc1{-\log u}\r)du \\&=&\int^1_0\l(\frac1{\log u}-\farc1{u-1}\r)du \\&=&\lim_{h\to0}\int^{1+h}_0\l(\frac1{\log t}-\farc1{t-1}\r)dt \\&=&\lim_{h\to0}\l(\int^{1+h}_0\frac{dt}{\log t}-[\log|t-1|]^{1+h}_0\r) \\&=&\lim_{h\to0}(\Li(1+h)-\log|h|) \end{eqnarray}
とわかる。

 $a>0$および$a\neq1$において
$$\lim_{x\to0}(\Li(a^x)-\log|x|)=\g+\log|\log a|$$
が成り立つ。

 $a^x=1+h$とおくと
\begin{eqnarray} \lim_{x\to0}(\Li(a^x)-\log|x|) &=&\lim_{h\to0}\l(\Li(1+h)-\log\l|\frac{\log(1+h)}{\log a}\r|\r) \\&=&\lim_{h\to0}(\Li(1+h)-\log|h|)+\log|\log a|+\lim_{h\to0}\log\l|\frac{\log(1+h)}{h}\r| \\&=&\g+\log|\log a|+\log1 \\&=&\g+\log|\log a| \end{eqnarray}
とわかる。

おまけ:$x\to0,\infty$について

 $x\to0$および$x\to\infty$において
$$\Li(x)=\frac x{\log x}+O\l(\frac{x}{\log^2x}\r)$$
が成り立つ。

$x\to0$について

\begin{eqnarray} \Li(x)&=&\l[\frac t{\log t}\r]^x_0-\int^x_0t\l(-\frac1{t\log^2t}\r)dt \\&=&\frac x{\log x}+\int^x_0\frac{dt}{\log^2t} \end{eqnarray}
であって、$0< t< x<1$において$0<-\log x<-\log t$より
$$\l|\int^x_0\frac{dt}{\log^2t}\r|\leq\frac{x}{\log^2x}$$
なので主張を得る。

$x\to\infty$について

\begin{eqnarray} \Li(x)&=&\l[\frac t{\log t}\r]^x_2+\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}+\Li(2) \\&=&\frac x{\log x}+\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}+O(1) \end{eqnarray}
であって、
\begin{eqnarray} \l|\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}\r| &\leq&\int^{\sqrt x}_2\frac{dt}{\log^2t}+\int^x_{\sqrt x}\frac{dt}{\log^2t} \\&\leq&\frac{\sqrt x-2}{\log^22}+\frac{x-\sqrt x}{\log^2\sqrt x}=O\l(\frac{x}{\log^2x}\r) \end{eqnarray}
なので主張を得る。

参考文献

投稿日:20211111
更新日:122

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投稿者

子葉
子葉
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185751
主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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