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対数積分Li(x)のx→0,1,∞における挙動について

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はじめに

　この記事では対数積分
$$\Li(x)=\int^x_0\frac{dt}{\log t}$$
が$x\to1$において
$$\Li(x)=\log|x-1|+\g+o(1)$$
と近似できることを示します。ここで$\g$はオイラー定数$\lim_{n\to\infty}(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n)$としました。
　ついでに$x\to0$および$x\to\infty$において
$$\Li(x)=\frac x{\log x}+O\l(\frac{x}{\log^2x}\r)$$
と近似できることを示します。

オイラー定数の変形

$\dis\log x=\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}t$

\begin{eqnarray} \log x&=&\int^x_1\frac1udu \\&=&\int^x_1\int^\infty_0e^{-ut}dtdu \\&=&\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}t \end{eqnarray}
とわかる。

$\dis\g=\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt$

\begin{eqnarray} \g&=&\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r) \\&=&\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\int^\infty_0e^{-kt}dt-\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-nt})\frac{dt}t\r) \\&=&\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt -\lim_{n\to\infty}\int^\infty_0\l(\frac{e^{-nt}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-nt}}t\r)dt \\&=&\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt \end{eqnarray}
とわかる。

対数積分の挙動について

$\dis\lim_{h\to0}(\Li(1+h)-\log|h|)=\g$

　補題2において$e^{-t}=u$と変数変換すると、$-e^{-t}dt=du$なので
\begin{eqnarray} \g&=&\int^\infty_0\l(\frac1{1-e^{-t}}-\frac1t\r)e^{-t}dt \\&=&-\int^0_1\l(\frac1{1-u}-\farc1{-\log u}\r)du \\&=&\int^1_0\l(\frac1{\log u}-\farc1{u-1}\r)du \\&=&\lim_{h\to0}\int^{1+h}_0\l(\frac1{\log t}-\farc1{t-1}\r)dt \\&=&\lim_{h\to0}\l(\int^{1+h}_0\frac{dt}{\log t}-[\log|t-1|]^{1+h}_0\r) \\&=&\lim_{h\to0}(\Li(1+h)-\log|h|) \end{eqnarray}
とわかる。

　$a>0$および$a\neq1$において
$$\lim_{x\to0}(\Li(a^x)-\log|x|)=\g+\log|\log a|$$
が成り立つ。

　$a^x=1+h$とおくと
\begin{eqnarray} \lim_{x\to0}(\Li(a^x)-\log|x|) &=&\lim_{h\to0}\l(\Li(1+h)-\log\l|\frac{\log(1+h)}{\log a}\r|\r) \\&=&\lim_{h\to0}(\Li(1+h)-\log|h|)+\log|\log a|+\lim_{h\to0}\log\l|\frac{\log(1+h)}{h}\r| \\&=&\g+\log|\log a|+\log1 \\&=&\g+\log|\log a| \end{eqnarray}
とわかる。

おまけ:$x\to0,\infty$について

　$x\to0$および$x\to\infty$において
$$\Li(x)=\frac x{\log x}+O\l(\frac{x}{\log^2x}\r)$$
が成り立つ。

$x\to0$について

\begin{eqnarray} \Li(x)&=&\l[\frac t{\log t}\r]^x_0-\int^x_0t\l(-\frac1{t\log^2t}\r)dt \\&=&\frac x{\log x}+\int^x_0\frac{dt}{\log^2t} \end{eqnarray}
であって、$0< t< x<1$において$0<-\log x<-\log t$より
$$\l|\int^x_0\frac{dt}{\log^2t}\r|\leq\frac{x}{\log^2x}$$
なので主張を得る。

$x\to\infty$について

\begin{eqnarray} \Li(x)&=&\l[\frac t{\log t}\r]^x_2+\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}+\Li(2) \\&=&\frac x{\log x}+\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}+O(1) \end{eqnarray}
であって、
\begin{eqnarray} \l|\int^x_2\frac{dt}{\log^2t}\r| &\leq&\int^{\sqrt x}_2\frac{dt}{\log^2t}+\int^x_{\sqrt x}\frac{dt}{\log^2t} \\&\leq&\frac{\sqrt x-2}{\log^22}+\frac{x-\sqrt x}{\log^2\sqrt x}=O\l(\frac{x}{\log^2x}\r) \end{eqnarray}
なので主張を得る。