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どのくじに応募した方が得か

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背景

スマホのアプリで、あるくじがあったので、どれに応募すれば当選の期待値が高いかを調べてみました。

概要

アプリのくじの仕様です。

まず、全国から色んな人が応募します。

応募するにはお金とは別のポイントが必要となり、応募に当選すればお金を得ることができます。

また、一人が応募できる最大数が決まっており、応募する金額によって変わります。(後述の表を参照)

計算

例えば、母数$x_1$、当選人数$5$人、自分は$1$つ応募し$1$つ当選するとします。

このときの当選率は、母数$x_1$から自分を$1$人選べばよいので$\frac{1}{x_1}$となります。

次に、母数、当選人数の条件は同じで、自分は$2$つ応募し、そのうちの$1$つが当選するとします。

当選人数$5$人の内、$1$人は自分で残りは他の人、つまり$(x_1-2)$人から$4$人選ぶ必要があります。

また、$2$つ応募した内$1$つが当たればよいので、自分が当選する場合の数は$_{x_1-2} \mathrm{ C }_4・2$となります。

よって、この場合の当選率は

$$\frac{_{x_1-2} \mathrm{ C }_4・2}{_{x_1} \mathrm{ C }_5}$$

$$=\frac{2(x_1-2)!}{(x_1-6)!4!}・\frac{(x_1-5)!5!}{x_1!}$$

$$=\frac{10(x_1-5)}{x_1(x_1-1)}$$

他も同じように計算します。

コスパを比較する

次に、コスパが一番いいパターンと悪いパターンを比較します。

計算すると、1000円を1回応募して当選するコスパの期待値は$\frac{50}{x_1}$で、5円を5回応募して1回当選するコスパの期待値は$\frac{750(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)(x_5-2503)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$でした。

$A=\frac{50}{x_1}$
$B=\frac{750(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)(x_5-2503)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$
とし、計算しやすいように母数を同じにします。

$x_1=x_5=5000$のとき
$A=0.01000$
$B=0.00937$

・・・

この時点で近いじゃないか

さらに$x_1=x_5=10000$のとき
$A=0.00500$
$B=0.02374$

期待値が逆転しました

さらにさらに$x_1=x_5=100000$のとき
$A=0.00050$
$B=0.00678$

このように、母数が増えれば期待値が逆転し、コストが安いくじに応募した方がコスパがよくなります。

額の大きさにだまされてはいけないことがわかります。

※母数には自分も含まれます

母数(人)応募の最大数(個)当選人数(人)当選金額(円)コスト(pt)自分の応募数(個)当選数(個)確率$\frac{金額}{コスト}$$\frac{期待値}{コスト}$
$x_1$35100010011$\frac{5}{x_1}$10$\frac{50}{x_1}$
100020021$\frac{10(x_1-5)}{x_1(x_1-1)}$5$\frac{50(x_1-5)}{x_1(x_1-1)}$
20002002$\frac{20}{x_1(x_1-1)}$10$\frac{200}{x_1(x_1-1)}$
100030031$\frac{5(x_1-5)(x_1-6)}{x_1(x_1-1)(x_1-2)}$$\frac{10}{3}$$\frac{50(x_1-5)(x_1-6)}{3x_1(x_1-1)(x_1-2)}$
20003002$\frac{60(x_1-5)}{x_1(x_1-1)(x_1-2)}$$\frac{20}{3}$$\frac{400(x_1-5)}{x_1(x_1-1)(x_1-2)}$
30003003$\frac{20}{x_1(x_1-1)(x_1-2)}$10$\frac{200}{x_1(x_1-1)(x_1-2)}$
$x_2$3105005011$\frac{10}{x_2}$10$\frac{100}{x_2}$
50010021$\frac{20(x_2-10)}{x_2(x_2-1)}$5$\frac{100(x_2-10)}{x_2(x_2-1)}$
10001002$\frac{90}{x_2(x_2-1)}$10$\frac{900}{x_2(x_2-1)}$
50015031$\frac{30(x_2-10)(x_2-11)}{x_2(x_2-1)(x_2-2)}$$\frac{10}{3}$$\frac{100(x_2-10)(x_2-11)}{x_2(x_2-1)(x_2-2)}$
10001502$\frac{270(x_2-10)}{x_2(x_2-1)(x_2-2)}$$\frac{20}{3}$$\frac{1800(x_2-10)}{x_2(x_2-1)(x_2-2)}$
15001503$\frac{720}{x_2(x_2-1)(x_2-2)}$10$\frac{7200}{x_2(x_2-1)(x_2-2)}$
$x_3$31001003011$\frac{100}{x_3}$$\frac{10}{3}$$\frac{1000}{3x_3}$
1006021$\frac{200(x_3-100)}{x_3(x_3-1)}$$\frac{5}{3}$$\frac{1000(x_3-100)}{3x_3(x_3-1)}$
200602$\frac{9900}{x_3(x_3-1)}$$\frac{10}{3}$$\frac{33000}{x_3(x_3-1)}$
1009031$\frac{100(x_3-100)(x_3-101)}{x_3(x_3-1)(x_3-2)}$$\frac{10}{9}$$\frac{1000(x_3-100)(x_3-101)}{9x_3(x_3-1)(x_3-2)}$
200902$\frac{29700(x_3-100)}{x_3(x_3-1)(x_3-2)}$$\frac{20}{9}$$\frac{66000(x_3-100)}{x_3(x_3-1)(x_3-2)}$
300903$\frac{970200}{x_3(x_3-1)(x_3-2)}$$\frac{10}{3}$$\frac{3234000}{x_3(x_3-1)(x_3-2)}$
$x_4$52000102011$\frac{2000}{x_4}$$\frac{1}{2}$$\frac{1000}{x_4}$
104021$\frac{4000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)}$$ \frac{1}{4}$$\frac{10000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)}$
20402$\frac{3998000}{x_4(x_4-1)}$$\frac{1}{2}$$\frac{1999000}{x_4(x_4-1)}$
106031$\frac{6000(x_4-2000)(x_4-2001)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)}$$\frac{1}{6}$$\frac{1000(x_4-2000)(x_4-2001)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)}$
20602$\frac{11994000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)}$$\frac{1}{3}$$\frac{2998000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)}$
30603$\frac{7988004000}{x_4(x_4-1)(x_4-2)}$$\frac{1}{2}$$\frac{3994002000}{x_4(x_4-1)(x_4-2)}$
108041$\frac{2000(x_4-2000)(x_4-2001)(x_4-2002)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$$\frac{1}{8}$$\frac{125(x_4-2000)(x_4-2001)(x_4-2002)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$
20802$\frac{23988000(x_4-2000)(x_4-2001)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$$\frac{1}{4}$$\frac{5997000(x_4-2000)(x_4-2001)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$
30803$\frac{31952016000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$$\frac{3}{8}$$\frac{11982006000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$
40804$\frac{15952043988000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$$\frac{1}{2}$$\frac{7976021994000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)}$
1010051$\frac{2000(x_4-2000)(x_4-2001)(x_4-2002)(x_4-2003)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$$\frac{1}{10}$$\frac{200(x_4-2000)(x_4-2001)(x_4-2002)(x_4-2003)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$
201002$\frac{39980000(x_4-2000)(x_4-2001)(x_4-2002)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$$\frac{1}{5}$$\frac{7996000(x_4-2000)(x_4-2001)(x_4-2002)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$
301003$\frac{79880040000(x_4-2000)(x_4-2001)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$$\frac{1}{3}$$\frac{26626680000(x_4-2000)(x_4-2001)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$
401004$\frac{79760219940000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$$\frac{2}{5}$$\frac{31904087976000(x_4-2000)}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$
501005$\frac{63521358201095760000}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$$\frac{1}{2}$$\frac{31760679100547880000}{x_4(x_4-1)(x_4-2)(x_4-3)(x_4-4)}$
$x_5$5250051011$\frac{2500}{x_5}$$\frac{1}{2}$$\frac{1250}{x_5}$
52021$\frac{2500(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)}$$\frac{1}{4}$$\frac{625(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)}$
10202$\frac{6247500}{x_5(x_5-1)}$$\frac{1}{2}$$\frac{3123750}{x_5(x_5-1)}$
53031$\frac{7500(x_5-2500)(x_5-2501)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)}$$\frac{1}{6}$$\frac{1250(x_5-2500)(x_5-2501)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)}$
10302$\frac{18742500(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)}$$\frac{1}{3}$$\frac{6247500(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)}$
15303$\frac{15606255000}{x_5(x_5-1)(x_5-2)}$$\frac{1}{2}$$\frac{7803127500}{x_5(x_5-1)(x_5-2)}$
54041$\frac{10000(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$$\frac{1}{8}$$\frac{1250(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$
10402$\frac{37485000(x_5-2500)(x_5-2501)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$$\frac{1}{2}$$\frac{18742500(x_5-2500)(x_5-2501)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$
15403$\frac{62425020000(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$$\frac{3}{8}$$\frac{234093825000(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$
20404$\frac{389688187350}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$$\frac{1}{2}$$\frac{194844093675}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)}$
55051$\frac{7500(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)(x_5-2503)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$$\frac{1}{10}$$\frac{750(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)(x_5-2503)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$
10502$\frac{6247500(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$$\frac{1}{5}$$\frac{1249500(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$
15503$\frac{156062550000(x_5-2500)(x_5-2501)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$$\frac{3}{10}$$\frac{46818765000(x_5-2500)(x_5-2501)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$
20504$\frac{194844093675000(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$$\frac{2}{5}$$\frac{77937637470000(x_5-2500)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$
25505$\frac{97266171562560000}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$$\frac{1}{2}$$\frac{48633085781280000}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$
投稿日:20211112

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あーく
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使える数学、面白い数学の分かりやすい解説を心がけています。

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