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高校数学解説

どのくじに応募した方が得か

くじ,確率
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背景

スマホのアプリで、あるくじがあったので、どれに応募すれば当選の期待値が高いかを調べてみました。

概要

アプリのくじの仕様です。

まず、全国から色んな人が応募します。

応募するにはお金とは別のポイントが必要となり、応募に当選すればお金を得ることができます。

また、一人が応募できる最大数が決まっており、応募する金額によって変わります。（後述の表を参照）

計算

例えば、母数x1、当選人数5人、自分は1つ応募し1つ当選するとします。

このときの当選率は、母数x1から自分を1人選べばよいので1x1となります。

次に、母数、当選人数の条件は同じで、自分は2つ応募し、そのうちの1つが当選するとします。

当選人数5人の内、1人は自分で残りは他の人、つまり(x1−2)人から4人選ぶ必要があります。

また、2つ応募した内1つが当たればよいので、自分が当選する場合の数はx1−2C4・2となります。

よって、この場合の当選率は

x1−2C4・2x1C5

=2(x1−2)!(x1−6)!4!・(x1−5)!5!x1!

=10(x1−5)x1(x1−1)

他も同じように計算します。

コスパを比較する

次に、コスパが一番いいパターンと悪いパターンを比較します。

計算すると、1000円を1回応募して当選するコスパの期待値は50x1で、5円を5回応募して1回当選するコスパの期待値は750(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)(x5−2503)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)でした。

A=50x1
B=750(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)(x5−2503)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)
とし、計算しやすいように母数を同じにします。

x1=x5=5000のとき
A=0.01000
B=0.00937

・・・

この時点で近いじゃないか

さらにx1=x5=10000のとき
A=0.00500
B=0.02374

期待値が逆転しました

さらにさらにx1=x5=100000のとき
A=0.00050
B=0.00678

このように、母数が増えれば期待値が逆転し、コストが安いくじに応募した方がコスパがよくなります。

額の大きさにだまされてはいけないことがわかります。

表

※母数には自分も含まれます

母数(人)応募の最大数(個)当選人数(人)当選金額(円)コスト(pt)自分の応募数(個)当選数(個)確率金額コスト期待値コスト
x1351000100115x11050x1
10002002110(x1−5)x1(x1−1)550(x1−5)x1(x1−1)
2000200220x1(x1−1)10200x1(x1−1)
1000300315(x1−5)(x1−6)x1(x1−1)(x1−2)10350(x1−5)(x1−6)3x1(x1−1)(x1−2)
2000300260(x1−5)x1(x1−1)(x1−2)203400(x1−5)x1(x1−1)(x1−2)
3000300320x1(x1−1)(x1−2)10200x1(x1−1)(x1−2)
x2310500501110x210100x2
5001002120(x2−10)x2(x2−1)5100(x2−10)x2(x2−1)
1000100290x2(x2−1)10900x2(x2−1)
5001503130(x2−10)(x2−11)x2(x2−1)(x2−2)103100(x2−10)(x2−11)x2(x2−1)(x2−2)
10001502270(x2−10)x2(x2−1)(x2−2)2031800(x2−10)x2(x2−1)(x2−2)
15001503720x2(x2−1)(x2−2)107200x2(x2−1)(x2−2)
x331001003011100x310310003x3
1006021200(x3−100)x3(x3−1)531000(x3−100)3x3(x3−1)
2006029900x3(x3−1)10333000x3(x3−1)
1009031100(x3−100)(x3−101)x3(x3−1)(x3−2)1091000(x3−100)(x3−101)9x3(x3−1)(x3−2)
20090229700(x3−100)x3(x3−1)(x3−2)20966000(x3−100)x3(x3−1)(x3−2)
300903970200x3(x3−1)(x3−2)1033234000x3(x3−1)(x3−2)
x4520001020112000x4121000x4
1040214000(x4−2000)x4(x4−1)1410000(x4−2000)x4(x4−1)
204023998000x4(x4−1)121999000x4(x4−1)
1060316000(x4−2000)(x4−2001)x4(x4−1)(x4−2)161000(x4−2000)(x4−2001)x4(x4−1)(x4−2)
2060211994000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)132998000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)
306037988004000x4(x4−1)(x4−2)123994002000x4(x4−1)(x4−2)
1080412000(x4−2000)(x4−2001)(x4−2002)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)18125(x4−2000)(x4−2001)(x4−2002)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)
2080223988000(x4−2000)(x4−2001)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)145997000(x4−2000)(x4−2001)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)
3080331952016000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)3811982006000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)
4080415952043988000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)127976021994000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)
10100512000(x4−2000)(x4−2001)(x4−2002)(x4−2003)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)110200(x4−2000)(x4−2001)(x4−2002)(x4−2003)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)
20100239980000(x4−2000)(x4−2001)(x4−2002)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)157996000(x4−2000)(x4−2001)(x4−2002)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)
30100379880040000(x4−2000)(x4−2001)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)1326626680000(x4−2000)(x4−2001)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)
40100479760219940000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)2531904087976000(x4−2000)x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)
50100563521358201095760000x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)1231760679100547880000x4(x4−1)(x4−2)(x4−3)(x4−4)
x552500510112500x5121250x5
520212500(x5−2500)x5(x5−1)14625(x5−2500)x5(x5−1)
102026247500x5(x5−1)123123750x5(x5−1)
530317500(x5−2500)(x5−2501)x5(x5−1)(x5−2)161250(x5−2500)(x5−2501)x5(x5−1)(x5−2)
1030218742500(x5−2500)x5(x5−1)(x5−2)136247500(x5−2500)x5(x5−1)(x5−2)
1530315606255000x5(x5−1)(x5−2)127803127500x5(x5−1)(x5−2)
5404110000(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)181250(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)
1040237485000(x5−2500)(x5−2501)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)1218742500(x5−2500)(x5−2501)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)
1540362425020000(x5−2500)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)38234093825000(x5−2500)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)
20404389688187350x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)12194844093675x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)
550517500(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)(x5−2503)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)110750(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)(x5−2503)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)
105026247500(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)151249500(x5−2500)(x5−2501)(x5−2502)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)
15503156062550000(x5−2500)(x5−2501)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)31046818765000(x5−2500)(x5−2501)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)
20504194844093675000(x5−2500)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)2577937637470000(x5−2500)x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)
2550597266171562560000x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)1248633085781280000x5(x5−1)(x5−2)(x5−3)(x5−4)
投稿日：2021年11月12日
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