どのくじに応募した方が得か

背景

スマホのアプリで、あるくじがあったので、どれに応募すれば当選の期待値が高いかを調べてみました。

概要

アプリのくじの仕様です。

まず、全国から色んな人が応募します。

応募するにはお金とは別のポイントが必要となり、応募に当選すればお金を得ることができます。

また、一人が応募できる最大数が決まっており、応募する金額によって変わります。（後述の表を参照）

計算

例えば、母数$x_1$、当選人数$5$人、自分は$1$つ応募し$1$つ当選するとします。

このときの当選率は、母数$x_1$から自分を$1$人選べばよいので$\frac{1}{x_1}$となります。

次に、母数、当選人数の条件は同じで、自分は$2$つ応募し、そのうちの$1$つが当選するとします。

当選人数$5$人の内、$1$人は自分で残りは他の人、つまり$(x_1-2)$人から$4$人選ぶ必要があります。

また、$2$つ応募した内$1$つが当たればよいので、自分が当選する場合の数は$_{x_1-2} \mathrm{ C }_4・2$となります。

よって、この場合の当選率は

$$\frac{_{x_1-2} \mathrm{ C }_4・2}{_{x_1} \mathrm{ C }_5}$$

$$=\frac{2(x_1-2)!}{(x_1-6)!4!}・\frac{(x_1-5)!5!}{x_1!}$$

$$=\frac{10(x_1-5)}{x_1(x_1-1)}$$

他も同じように計算します。

コスパを比較する

次に、コスパが一番いいパターンと悪いパターンを比較します。

計算すると、1000円を1回応募して当選するコスパの期待値は$\frac{50}{x_1}$で、5円を5回応募して1回当選するコスパの期待値は$\frac{750(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)(x_5-2503)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$でした。

$A=\frac{50}{x_1}$
$B=\frac{750(x_5-2500)(x_5-2501)(x_5-2502)(x_5-2503)}{x_5(x_5-1)(x_5-2)(x_5-3)(x_5-4)}$
とし、計算しやすいように母数を同じにします。

$x_1=x_5=5000$のとき
$A=0.01000$
$B=0.00937$

・・・

この時点で近いじゃないか

さらに$x_1=x_5=10000$のとき
$A=0.00500$
$B=0.02374$

期待値が逆転しました

さらにさらに$x_1=x_5=100000$のとき
$A=0.00050$
$B=0.00678$

このように、母数が増えれば期待値が逆転し、コストが安いくじに応募した方がコスパがよくなります。

額の大きさにだまされてはいけないことがわかります。

表

※母数には自分も含まれます