一般化優高度合成数の性質

$$f_e(x)=\frac{x^{e+1}-x}{x^{e+1}-1} =1-\frac{x-1}{x^{e+1}-1}=1-\frac1{\sum^e_{i=0}x^i}$$
に注意すればわかる。

$$g_{e,e'}(x)=\frac{1-x^{-e'}}{1-x^{-(e-e')}}x^{-(e-e')}-1$$
または
$$g_{e,e'}(x)=\prod^{e'}_{i=1}\frac1{f_{e-i}(x)}$$
に注意すればわかる。(ついでに$x$についても単調減少であることがわかる。)

　補題1より$h_r(x)=x^\e-1/f_r(x^s)$は$1< x$で単調増加で、
\begin{align} \lim_{x\to1}h_r(x) &=\lim_{x\to1}\l(x^\e-\frac{\sum^r_{i=0}x^{-is}}{\sum^{r-1}_{i=0}x^{-is}}\r)\\ &=1-\frac{r+1}r=-\frac1r<0\\ \lim_{x\to\infty}h_r(x)&=\infty \end{align}
なのでこれが$1< x$においてただ一点で$0$になることがわかる。
　また$h_r(x)$は$r$についても単調増加なので$h_r(x_r)=0$とすると
$$h_{r+1}(x_r)>h_r(x_r)=0=h_{r+1}(x_{r+1})$$
すなわち$x_{r+1}< x_r$であり、有界単調性から$x_r$の収束先を$\a$とおくと
\begin{eqnarray} |\a^\e-1|&=&\lim_{r\to\infty}\l(\frac1{f_r(x_r)}-1\r) \\&\leq&\lim_{r\to\infty}\l(\frac1{f_r(1)}-1\r) =\lim_{r\to\infty}\frac1r=0 \end{eqnarray}
よって$\a=1$がわかる。

　高度合成数$n$がある$1\leq i< k$に対し$e_i< e_{i+1}$を満たすとする。このとき$m=n\cdot p_i/p_{i+1}< n$とおくと
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)}=\frac{1-p_i^{-(e_i+1)s}}{1-p_i^{-(e_i+2)s}}\cdot \frac{1-p_{i+1}^{-(e_{i+1}+1)s}}{1-p_{i+1}^{-e_{i+1}s}}=\farc{f_{e_i+1}(p_i^s)}{f_{e_{i+1}}(p_{i+1}^s)}>1$$
が成り立たなければならないが、$e_i+1\leq e_{i+1},\;p_i< p_{i+1}$から補題1より
$$f_{e_i+1}(p_i^s)< f_{e_{i+1}}(p_{i+1}^s)$$
であるので矛盾。よって主張を得る。

ステップ1:$e_k\leq2$である

　高度合成数$n$が$e_k\geq3$を満たすとする。このときベルトランの仮説より$p_{k+1}<2p_k\leq p_k^2$であることに注意して$m=n\cdot p_{k+1}/p_k^2< n$とおくと
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)} =\frac{1-p_k^{-(e_k+1)s}}{1-p_k^{-(e_k-1)s}}\cdot\frac1{1+p_{k+1}^{-s}} =\frac{g_{e_k+1,2}(p_k^s)}{1+p_{k+1}^{-s}}>1$$
が成り立たなければならないが、補題2より
$$g_{e_k+1,2}(p_k^s)\leq g_{4,2}(p_k^s)=1+p_k^{-2s}<1+p_{k+1}^{-s}$$
であるので矛盾。

ステップ2:$p_k\geq5$ならば$e_{k-2}\leq4$である

　高度合成数$n$が$p_k\geq5$かつ$e_{k-2}\geq5$を満たすとする。このとき$p_{k-2}\geq3$ならベルトランの仮設より
$$p_{k+1}<2p_k<4p_{k-1}<8p_{k-2}< p_{k-2}^3$$
が成り立ち、また$p_{k-2}=2$なら$p_{k+1}=7$より結局$p_{k+1}< p_{k-2}^3$が成り立つことに注意して$m=n\cdot p_{k+1}/p_{k-2}^3< n$とおくと
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)} =\frac{1-p_{k-2}^{-(e_{k-2}+1)s}}{1-p_{k-2}^{-(e_{k-2}-2)s}}\cdot\frac1{1+p_{k+1}^{-s}} =\frac{g_{e_{k-2}+1,3}(p_{k-2}^s)}{1+p_{k+1}^{-s}}>1$$
が成り立たなければならないが、これも上と同様に
$$g_{e_{k-2}+1,3}(p_{k-2}^s)\leq g_{6,3}(p_{k-2}^s)=1+p_{k-2}^{-3s}<1+p_{k+1}^{-s}$$
であるので矛盾。

ステップ3:$5\leq p_k\leq19$ならば$e_k=1$である

　高度合成数$n$が$5\leq p_k\leq19$かつ$e_k=2$を満たすとする。このとき上の表より$p_{k-1}p_k>p_{k-2}p_{k+1}$が成り立つことに注意して自然数$m=n\cdot p_{k-2}p_{k+1}/p_{k-1}p_k< n$を取ると
\begin{eqnarray} \frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)} &=&\frac{1-p_{k-2}^{-(e_{k-2}+1)s}}{1-p_{k-2}^{-(e_{k-2}+2)s}} \cdot\frac{1-p_{k-1}^{-(e_{k-1}+1)s}}{1-p_{k-1}^{-e_{k-1}s}} \cdot\frac{1-p_k^{-3s}}{1-p_k^{-2s}} \cdot\frac1{1+p_{k+1}^{-s}} \\&=&\frac{f_{e_{k-2}+1}(p_{k-2}^s)f_1(p_{k+1}^s)} {f_{e_{k-1}}(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)}>1 \end{eqnarray}
が成り立つ。いま$e_k=2\leq e_{k-1}\leq e_{k-2}\leq4$より
$$f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)< f_5(p_{k-2}^s)f_1(p_{k+1}^s)$$
が成り立たたなければならないが、実は$s>0$において
$$f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)>f_5(p_{k-2}^s)f_1(p_{k+1}^s)$$
が成り立つ。この証明については細かくは触れ(れ)ません(私の技術的に)が、次のように正当化することはできます。

　$x\to\infty$において
$$f_e(x)=\frac{1-x^{-e}}{1-x^{-(e+1)}}\fallingdotseq(1-x^{-e})(1+x^{-(e+1)})\fallingdotseq 1-x^{-e}$$
と評価できるので$s\to\infty$において
\begin{align} f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)&\fallingdotseq(1-p_{k-1}^{-2s})(1-p_k^{-2s})\fallingdotseq1-p_{k-1}^{-2s}\\ f_5(p_{k-2}^s)f_1(p_{k+1}^s)&\fallingdotseq(1-p_{k-2}^{-5s})(1-p_{k+1}^{-s})\fallingdotseq1-p_{k+1}^{-s} \end{align}
すなわち
$$f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)\fallingdotseq 1-p_{k-1}^{-2s}>1-p_{k+1}^{-s}\fallingdotseq f_5(p_{k-2}^s)f_1(p_{k+1}^s)$$
が成り立つ。また$x\to1$においては
$$f_e(x)=\frac{\sum^{e-1}_{i=0}x^{-i}}{\sum^e_{i=0}x^{-i}}\fallingdotseq\frac e{e+1}$$
と評価できるので$s\to0$において
$$f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)\fallingdotseq \frac49>\frac5{12}\fallingdotseq f_5(p_{k-2}^s)f_1(p_{k+1}^s)$$
が成り立つ。よって大域的にも(ほとんどの$s$で)
$$f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)>f_5(p_{k-2}^s)f_1(p_{k+1}^s)$$
が成り立つと考えられる。といった具合である。

なにはともあれこれによって矛盾が得られる。

ステップ4:$p_k\geq11$ならば$e_k=1$である

　高度合成数$n$が$p_k\geq11$かつ$e_k=2$を満たすとする。このとき$p_k\geq23$ならばベルトランの仮設より$p_{k+1}<4p_{k-1},\;p_{k+2}<4p_k$なので
$$p_{k+1}p_{k+2}<16p_{k-1}p_k< p_{k-2}p_{k-1}p_k$$
が成り立ち、また上の表から$11\leq p_k\leq19$においてもこの不等式は成り立つことに注意して自然数$m=n\cdot p_{k+1}p_{k+2}/p_{k-2}p_{k-1}p_k$を取ると
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)}=\frac{f_1(p_{k+1}^s)f_1(p_{k+2}^s)}{f_{e_{k-2}}(p_{k-2}^s)f_{e_{k-1}}(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)}>1$$
が成り立たなければならないがが、上と同じように(厳密な証明ではないが)$s\to\infty$において
$$\frac{f_1(p_{k+1}^s)f_1(p_{k+2}^s)}{f_2(p_{k-2}^s)f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)} \fallingdotseq\frac{1-p_{k+1}^{-s}}{1-p_{k-2}^{-2s}}<1$$
および$s\to0$において
$$\frac{f_1(p_{k+1}^s)f_1(p_{k+2}^s)}{f_2(p_{k-2}^s)f_2(p_{k-1}^s)f_2(p_k^s)} \fallingdotseq\frac{\farc14}{\farc8{27}}=\frac{27}{32}<1$$
と評価できるので矛盾。

ステップ5:$p_k=2,3$ならば$n=4,36$である

　$p_k=2,\ e_k=2$となるような$n$、つまり$n=4$は高度合成数である。実際
$$\s_{-s}(1)=1,\quad\s_{-s}(2)=1+2^{-s},\quad\s_{-s}(3)=1+3^{-s}$$
は全て$\s_{-s}(4)=1+2^{-s}+4^{-s}$未満である。
　$p_k=3,\ e_k=3$となるような高度合成数$n=2^e3^2$について、自然数$m=n\cdot5/6< n$を取ると
$$\farc{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)}=\farc{f_1(5^s)}{f_e(2^s)f_2(3^s)}>1$$
が成り立ち、また(厳密な証明ではないが)$s\to\infty$において
$$\farc{f_1(5^s)}{f_3(2^s)f_2(3^s)}\fallingdotseq\farc{1-5^{-s}}{1-8^{-s}}<1$$
および$s\to0$において
$$\farc{f_1(5^s)}{f_3(2^s)f_2(3^s)}\fallingdotseq\farc{\frac12}{\farc34\cdot\farc23}=1$$
が成り立つので
$$\frac{f_1(5^s)}{f_2(3^s)}\leq f_3(2^s)$$
が言える。よって$f_e(2^s)< f_3(2^s)$であり、単調性より$e<3$となる。ここで$e\geq e_k=2$であったので$e=2$すなわち$n=36$となる。
　ただし$24$が$36$未満で最大の高度合成数であること(定理$4$や$\s_{-s}(30)<\s_{-s}(24)$から簡単にわかる)に注意すると$36$が高度合成数であるためには$\s_{-s}(24)<\s_{-s}(36)$であればよく、これを展開して整理すると
\begin{eqnarray} (1+2^{-s}+4^{-s}+8^{-s})(1+3^{-s})&<&(1+2^{-s}+4^{-s})(1+3^{-s}+9^{-s}) \\8^{-s}(1+3^{-s})&<&(1+2^{-s}+4^{-s})9^{-s} \\9^s(1+3^{-s})&<&8^s(1+2^{-s}+4^{-s}) \\3^s+9^s&<&2^s+4^s+8^s \end{eqnarray}
が必要十分条件ということになる。

　任意に素数$p_i\leq p_k$を取り、$m=n/p_i< n$とおくと
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)}=\frac{1-p_i^{-(e_i+1)s}}{1-p_i^{-e_is}} \geq\l(\farc{n}{n/p_i}\r)^\e=p_i^\e\quad\cdots(*_m)$$
が成り立ち、また任意に素数$p_i$を取り$l=p_in>n$とおくと
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(l)}=\frac{1-p_i^{-(e_i+1)s}}{1-p_i^{-(e_i+2)s}} >\l(\farc{n}{p_in}\r)^\e=p_i^{-\e}\quad\cdots(*_l)$$
が成り立つ。これをそれぞれ$e_i$について解くことで
$$\frac{\log(\frac{p_i^\e-p_i^{-s}}{p_i^\e-1})}{s\log p_i}-1< e_i\leq\frac{\log(\frac{p_i^\e-p_i^{-s}}{p_i^\e-1})}{s\log p_i}$$
すなわち
$$e_j=\Bigg\lfloor\frac{\log(\frac{p_j^\e-p_j^{-s}}{p_j^\e-1})}{s\log p_j}\Bigg\rfloor$$
を得る。
　いま$e_k=2$つまり$n=4,36$であるとすると$k=1,2$に対して$e_k=2$かつ$e_{k+1}=0$が成り立つので
$$e_k=2\leq\frac{\log(\frac{p_k^\e-p_k^{-s}}{p_k^\e-1})}{s\log p_k},\quad e_{k+1}+1=1>\frac{\log(\frac{p_{k+1}^\e-p_{k+1}^{-s}}{p_{k+1}^\e-1})}{s\log p_{k+1}}$$
となる。これを$(*_m),(*_l)$の形に戻して$\e$について解くと
$$\frac{\log(1+p_{k+1}^{-s})}{\log p_{k+1}}<\e\leq\farc1{\log p_k}\log\l(\frac{1+p_k^{-s}+p_k^{-2s}}{1+p_k^{-s}}\r)$$
がわかるが、
\begin{align} &\frac{d}{ds}\l(\frac{\log(1+p_{k+1}^{-s})}{\log p_{k+1}} -\frac{\log\big((1+p_k^{-s}+p_k^{-2s})/(1+p_k^{-s})\big)}{\log p_k}\r)\\ ={}&\frac1{p_{k+1}^s+1}-\farc{2p_k^s+1}{(p_k^s+1)(p_k^{2s}+p_k^s+1)}\geq0 \end{align}
より(この不等式については(めんどくさいので)証明しない)
$$\frac{\log(1+p_{k+1}^{-s})}{\log p_{k+1}}-\frac{\log((1+p_k^{-s}+p_k^{-2s})/(1+p_k^{-s}))}{\log p_k}>\frac{\log2}{\log p_{k+1}}-\farc{\log\frac32}{\log p_k}>0$$
なのでそのような$\e$は存在しない。つまり$n=4,36$は優高度合成数ではない。
　以上より$e_k=1$なので$m=n/p_k,l=p_{k+1}n$とおくと
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)}=1+p_k^{-s}\geq p_k^\e,\quad\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(l)}=\frac1{1+p_{k+1}^{-s}}>p_{k+1}^{-\e}$$
すなわち
$$\frac{\log(1+p_{k+1}^{-s})}{\log p_{k+1}}<\e\leq\frac{\log(1+p_k^{-s})}{\log p_k}$$
を得る。

　$e_j$の定義より定理6証明内の不等式$(*_m),(*_l)$が成り立つことに注意する。
　いま任意に$m\neq n$を取り$n/m=\prod_jp_j^{e'_j}\quad(-e_j\leq e'_j)$と(負の指数も認めて)素因数分解する。このとき$m=\prod_jp_j^{e_j+e'_j}$より
$$\frac{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)}=\prod_j\frac{1-p_j^{-(e_j+1)s}}{1-p_j^{-(e_j+e'_j+1)s}}$$
が成り立つ。この各因数について、$e'_j$が負のとき
$$\frac{1-p_j^{-(e_j+1)s}}{1-p_j^{-(e_j+e'_j+1)s}} =\prod^{-e'_j-1}_{i=0}\frac{1-p_j^{-(e_j-i+1)s}}{1-p_j^{-(e_j-i)s}} =\prod^{-e'_j-1}_{i=0}\frac1{f_{e_j-i}(p_j^s)} \geq \frac1{f_{e_j}(p_j^s)^{-e'_j}}\geq p_j^{e'_j\e}$$
となり、また$e'_j$が正のとき
$$\frac{1-p_j^{-(e_j+1)s}}{1-p_j^{-(e_j+e'_j+1)s}} =\prod^{e'_j}_{i=1}\frac{1-p_j^{-(e_j+i)s}}{1-p_j^{-(e_j+i+1)s}} =\prod^{e'_j}_{i=1}f_{e_j+i}(p_j^s)\geq f_{e_j+1}(p_j^s)^{e'_j}> p_j^{e'_j\e}$$
となるのでこれらを掛け合わせることで
$$\farc{\s_{-s}(n)}{\s_{-s}(m)}\geq\prod_jp_j^{e'_j\e}=\l(\frac nm\r)^\e$$
を得る。
　また$m>n$のとき、少なくともどれか一つは$e'_j>0$となるので真の不等号が成り立つ。よって$n$は優高度合成数である。

　素因数分解$N=\prod^k_{j=1}p_j^{e_j}$において$e_i\geq r$となるような$i$の内、最大のものを$i_r\;(r=1,2,\ldots,e_1)$とおく。このとき$e_1\geq e_2\geq\cdots\geq e_k=1$であったことを思い出すと、
\begin{align} N&=\prod^{e_1}_{r=1}\prod_{p\leq p_{i_r}}p\\ &=\exp\l(\sum^{e_1}_{r=1}\sum_{p\leq p_{i_r}}\log p\r) =\exp\l(\sum^{e_1}_{r=1}\vt(p_{i_r})\r)\\ \s_{-s}(N)&=\prod^{e_1}_{r=1}\prod_{p\leq p_{i_r}}\frac{1-p^{-s(r+1)}}{1-p^{-sr}} =\prod^{e_1}_{r=1}\Pi_r(p_{i_r}) \end{align}
が成り立つ。
　いま定理6の証明内の$(*_m)$を思い出すと$e_{i_r}\geq r$より
$$p_{i_r}^\e\leq \frac1{f_{e_{i_r}}(p_{i_r}^s)}\leq \frac1{f_r(p_{i_r}^s)} =\frac{1-p_{i_r}^{-s(r+1)}}{1-p_{i_r}^{-sr}}$$
であって、また$(*_l)$を思い出すと$e_{i_r+1}\leq r-1$より
$$p_{i_r+1}^\e>\frac1{f_{e_{i_r+1}+1}(p_{i_r+1}^s)}\geq \frac1{f_r(p_{i_r+1}^s)}=\frac{1-p_{i_r+1}^{-s(r+1)}}{1-p_{i_r+1}^{-sr}}$$
が成り立つ。つまり$h_r(x)=x^\e-1/f_r(x^s)$とおくと$h_r(p_{i_r})\leq0,\;h_r(p_{i_r+1})>0$なので$h_r(x_r)=0$なる実数$p_{i_r}\leq x_r< p_{i_r+1}$が存在し、特に$p_{i_r}$は$x_r$以下の素数で最大のものとなる。すなわち
$$\vt(x_r)=\vt(p_{i_r}),\quad\Pi_r(x_r)=\Pi_r(p_{i_r})$$
が成り立つ。
　また$(*_l)$から$h_{e_1+1}(2)>0=h_{e_1+1}(x_{e_1+1})$なので$r>e_1$において$x_r<2$が成り立つ(補題3参照)。つまり$r>e_1$において$\vt(x_r)=\Pi_r(x_r)=0$が成り立つ。
　以上より
\begin{align} N&=\exp\l(\sum^{e_1}_{r=1}\vt(p_{i_r})\r)=\exp\l(\sum^\infty_{r=1}\vt(x_r)\r)\\ \s_{-s}(N)&=\prod^{e_1}_{r=1}\Pi_r(p_{i_r})=\prod^\infty_{r=1}\Pi_r(p_{i_r}) \end{align}
を得る。

　定理$7,8$より$N=\prod^\infty_{r=1}e^{\vt(x_r)}$は優高度合成数となるので任意の$n\neq N$に対して
$$\s_{-s}(n)\leq n^\e\frac{\s_{-s}(N)}{N^\e}=n^\e\prod^\infty_{r=1}\farc{\Pi_r(x_r)}{e^{\e\vt(x_r)}}$$
を得る。また少なくとも$n=N$のとき、この等号は成立する。