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一般化優高度合成数の性質

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はじめに

　この記事では後の記事で必要となる一般化優高度合成数という数の性質について解説していきます。
　以下 $σ_{- s} (n)$ を約数関数
$σ_{- s} (n) = \sum_{d | n} d^{- s}$
とし $s \geq 0$ を固定します。このとき一般化優高度合成数とは次のように定義される数のことを言います。

高度合成数

　自然数 $n$ が任意の $m < n$ に対して
$σ_{- s} (n) > σ_{- s} (m)$
を満たすとき、 $n$ は一般化高度合成数であると言う。

優高度合成数

　自然数 $n$ がある $ε > 0$ と任意の $m$ に対し
$\frac{σ_{- s} (n)}{n^{ε}} \geq \frac{σ_{- s} (m)}{m^{ε}}$
を満たす(ただし $m > n$ においては真の不等号が成り立つ)とき、 $n$ は一般化優高度合成数であると言う。

　以下簡単のため"一般化"を省略して単に高度合成数や優高度合成数と呼ぶことにします。
　上では $σ_{- s} (s \geq 0)$ について優高度合成数を定義しましたが、 $σ_{s} (s > 0)$ についても巨大過剰数というものが定義されます。と言っても、 $n$ が $σ_{s}$ についての巨大過剰数であるとは
$\frac{σ_{s} (n)}{n^{s + ε}} \geq \frac{σ_{s} (m)}{m^{s + ε}} (\exists ε > 0, \forall m \in N)$
(ただし $m > n$ ならば等号不成立)が成り立つことを言うのですが、
$\frac{σ_{s} (n)}{n^{s}} = \sum_{d | n} {(\frac{1}{\frac{n}{d}})}^{s} = \sum_{d | n} \frac{1}{d^{s}} = σ_{- s} (n)$
なので $n$ が $σ_{s}$ についての巨大過剰数であることと $σ_{- s}$ についての優高度合成数であることは等価であり、結局 $σ_{- s} (n)$ について考えればいいことになります。実際、後の記事では $σ (n) = σ_{1} (n)$ についての定理を解説しますが、その導出では $σ_{- 1} (n) = σ (n) / n$ について考察していくことになります。
　ただ、 $n$ が $σ_{- s}$ についての高度合成数であることと $σ_{s}$ についての高度過剰数であること( $\overset{def}{⟺} \forall m < n, σ_{s} (n) > σ_{s} (m)$ )は同値ではありません。高度合成数と同値なのは超過剰数であること( $\overset{def}{⟺} \forall m < n, σ_{s} (n) / n > σ_{s} (m) / m$ )になります。
　さらに注意が必要なのはここで高度合成数(優高度合成数)と超過剰数(巨大過剰数)が同値であると言ったのは $σ_{- s} (n) \leftrightarrow σ_{s} (n)$ の相互関係について言っており、通常、高度合成数(優高度合成数)や超過剰数(巨大過剰数)と言ったときにはそれぞれ $d (n) = σ_{0} (n), σ (n) = σ_{1} (n)$ についてのそれを指すので、そういう意味では高度合成数(優高度合成数)と超過剰数(巨大過剰数)は同値とはなりません。

　この記事では最後の節を除いて具体的な(優)高度合成数の例は紹介しないのもあって何かの参考にこれらのWikipediaのページでも貼っておきます。
・高度合成数　( Highly composite number )
・優高度合成数 ( Superior highly number )
・高度過剰数　( Highly abundant number )
・超過剰数　　( Superabundant number )
・巨大過剰数　( Colossally abundant number )
なぜか優高度合成数(日本語版)の紹介は巨大過剰数の記事の中で行われています。 $s \neq 0, 1$ まで一般化(Generalized)したものについての記事はなさそうな感じでした。
　ちなみに巨大過剰数の記事の出典として使われていたQiitaの記事(→ 高度合成数〜なんかよく見る数〜 )でも $s = 0$ の(優)高度合成数の数値的な話やこの記事とはまた別の観点のお話を取り上げているので、よかったらそちらも見てみると面白いかもしれません。
　以下、簡単のため $s > 0$ として $s = 0$ の場合は最後の節で紹介します。

補題

　これから(優)高度合成数についての性質を見ていく前にいくつかの解析的な補題を示しておく。

　自然数 $e$ と $x > 1$ に対して
$f_{e} (x) = \frac{1 - x^{- e}}{1 - x^{- (e + 1)}}$
とおくと $f_{e} (x)$ は $e, x$ それぞれについて単調増加である。

$f_{e} (x) = \frac{x^{e + 1} - x}{x^{e + 1} - 1} = 1 - \frac{x - 1}{x^{e + 1} - 1} = 1 - \frac{1}{\sum_{i = 0}^{e} x^{i}}$
に注意すればわかる。

　自然数 $e > e^{'}$ と $x > 1$ に対して
$g_{e, e^{'}} (x) = \frac{1 - x^{- e}}{1 - x^{- (e - e^{'})}}$
とおくと $g_{e, e^{'}} (x)$ は $e$ について単調減少である。

$g_{e, e^{'}} (x) = \frac{1 - x^{- e^{'}}}{1 - x^{- (e - e^{'})}} x^{- (e - e^{'})} - 1$
または
$g_{e, e^{'}} (x) = \prod_{i = 1}^{e^{'}} \frac{1}{f_{e - i} (x)}$
に注意すればわかる。(ついでに $x$ についても単調減少であることがわかる。)

　自然数 $r$ と $s, ε > 0$ に対して方程式
$x^{ε} = \frac{1 - x^{- s (r + 1)}}{1 - x^{- s r}} (= \frac{1}{f_{r} (x^{s})})$
は $1 < x$ においてただ一つの解を持ち、その解 $x_{r}$ は $r$ について単調減少に $1$ へ収束する。

　補題1より $h_{r} (x) = x^{ε} - 1 / f_{r} (x^{s})$ は $1 < x$ で単調増加で、
$\begin{aligned} lim_{x \to 1} h_{r} (x) & = lim_{x \to 1} (x^{ε} - \frac{\sum_{i = 0}^{r} x^{- i s}}{\sum_{i = 0}^{r - 1} x^{- i s}}) \\ = 1 - \frac{r + 1}{r} = - \frac{1}{r} < 0 \\ lim_{x \to \infty} h_{r} (x) & = \infty \end{aligned}$
なのでこれが $1 < x$ においてただ一点で $0$ になることがわかる。
　また $h_{r} (x)$ は $r$ についても単調増加なので $h_{r} (x_{r}) = 0$ とすると
$h_{r + 1} (x_{r}) > h_{r} (x_{r}) = 0 = h_{r + 1} (x_{r + 1})$
すなわち $x_{r + 1} < x_{r}$ であり、有界単調性から $x_{r}$ の収束先を $α$ とおくと
$\begin{array}{rcl} | α^{ε} - 1 | & = & lim_{r \to \infty} (\frac{1}{f_{r} (x_{r})} - 1) \\ \leq & lim_{r \to \infty} (\frac{1}{f_{r} (1)} - 1) = lim_{r \to \infty} \frac{1}{r} = 0 \end{array}$
よって $α = 1$ がわかる。

高度合成数の性質

　素数を小さい順に並べ、 $p_{1} = 2, p_{2}, p_{3}, \dots$ とおき、 $n$ の素因数の内最大のものを $p_{k}$ として
$n = \prod_{j = 1}^{k} p_{i}^{e_{i}} (e_{i} \geq 0)$
と素因数分解する。このとき
$\begin{aligned} σ_{- s} (n) & = \sum_{d | n} d^{- s} = \prod_{j = 1}^{k} \sum_{l = 0}^{e_{j}} p_{j}^{- l s} \\ = \prod_{j = 1}^{k} \frac{1 - p_{j}^{- (e_{j} + 1) s}}{1 - p_{j}^{- s}} \end{aligned}$
と表せることに注意する。

　高度合成数 $n$ に対し $e_{1} \geq e_{2} \geq \dots \geq e_{k} (\geq 1)$ が成り立つ。

　高度合成数 $n$ がある $1 \leq i < k$ に対し $e_{i} < e_{i + 1}$ を満たすとする。このとき $m = n \cdot p_{i} / p_{i + 1} < n$ とおくと
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = \frac{1 - p_{i}^{- (e_{i} + 1) s}}{1 - p_{i}^{- (e_{i} + 2) s}} \cdot \frac{1 - p_{i + 1}^{- (e_{i + 1} + 1) s}}{1 - p_{i + 1}^{- e_{i + 1} s}} = \frac{f_{e_{i} + 1} (p_{i}^{s})}{f_{e_{i + 1}} (p_{i + 1}^{s})} > 1$
が成り立たなければならないが、 $e_{i} + 1 \leq e_{i + 1}, p_{i} < p_{i + 1}$ から補題1より
$f_{e_{i} + 1} (p_{i}^{s}) < f_{e_{i + 1}} (p_{i + 1}^{s})$
であるので矛盾。よって主張を得る。

　高度合成数 $n \neq 4, 36$ に対し $e_{k} = 1$ が成り立つ。
　また $36$ が高度合成数となるのは $3^{s} + 9^{s} < 2^{s} + 4^{s} + 8^{s}$ が成り立つとき(大体 $s < 1.674$ くらい)、かつそのときに限る。

ステップ1: $e_{k} \leq 2$ である

　高度合成数 $n$ が $e_{k} \geq 3$ を満たすとする。このときベルトランの仮説より $p_{k + 1} < 2 p_{k} \leq p_{k}^{2}$ であることに注意して $m = n \cdot p_{k + 1} / p_{k}^{2} < n$ とおくと
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = \frac{1 - p_{k}^{- (e_{k} + 1) s}}{1 - p_{k}^{- (e_{k} - 1) s}} \cdot \frac{1}{1 + p_{k + 1}^{- s}} = \frac{g_{e_{k} + 1, 2} (p_{k}^{s})}{1 + p_{k + 1}^{- s}} > 1$
が成り立たなければならないが、補題2より
$g_{e_{k} + 1, 2} (p_{k}^{s}) \leq g_{4, 2} (p_{k}^{s}) = 1 + p_{k}^{- 2 s} < 1 + p_{k + 1}^{- s}$
であるので矛盾。

ステップ2: $p_{k} \geq 5$ ならば $e_{k - 2} \leq 4$ である

　高度合成数 $n$ が $p_{k} \geq 5$ かつ $e_{k - 2} \geq 5$ を満たすとする。このとき $p_{k - 2} \geq 3$ ならベルトランの仮設より
$p_{k + 1} < 2 p_{k} < 4 p_{k - 1} < 8 p_{k - 2} < p_{k - 2}^{3}$
が成り立ち、また $p_{k - 2} = 2$ なら $p_{k + 1} = 7$ より結局 $p_{k + 1} < p_{k - 2}^{3}$ が成り立つことに注意して $m = n \cdot p_{k + 1} / p_{k - 2}^{3} < n$ とおくと
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = \frac{1 - p_{k - 2}^{- (e_{k - 2} + 1) s}}{1 - p_{k - 2}^{- (e_{k - 2} - 2) s}} \cdot \frac{1}{1 + p_{k + 1}^{- s}} = \frac{g_{e_{k - 2} + 1, 3} (p_{k - 2}^{s})}{1 + p_{k + 1}^{- s}} > 1$
が成り立たなければならないが、これも上と同様に
$g_{e_{k - 2} + 1, 3} (p_{k - 2}^{s}) \leq g_{6, 3} (p_{k - 2}^{s}) = 1 + p_{k - 2}^{- 3 s} < 1 + p_{k + 1}^{- s}$
であるので矛盾。

ステップ3: $5 \leq p_{k} \leq 19$ ならば $e_{k} = 1$ である

$p_{k}$	$p_{k - 1} p_{k}$	$p_{k - 2} p_{k + 1}$
$5$	$15$	$14$
$7$	$35$	$33$
$11$	$77$	$65$
$13$	$143$	$119$
$17$	$221$	$209$
$19$	$323$	$299$
$23$	$437$	$493$

　高度合成数 $n$ が $5 \leq p_{k} \leq 19$ かつ $e_{k} = 2$ を満たすとする。このとき上の表より $p_{k - 1} p_{k} > p_{k - 2} p_{k + 1}$ が成り立つことに注意して自然数 $m = n \cdot p_{k - 2} p_{k + 1} / p_{k - 1} p_{k} < n$ を取ると
$\begin{array}{rcl} \frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} & = & \frac{1 - p_{k - 2}^{- (e_{k - 2} + 1) s}}{1 - p_{k - 2}^{- (e_{k - 2} + 2) s}} \cdot \frac{1 - p_{k - 1}^{- (e_{k - 1} + 1) s}}{1 - p_{k - 1}^{- e_{k - 1} s}} \cdot \frac{1 - p_{k}^{- 3 s}}{1 - p_{k}^{- 2 s}} \cdot \frac{1}{1 + p_{k + 1}^{- s}} \\ = & \frac{f_{e_{k - 2} + 1} (p_{k - 2}^{s}) f_{1} (p_{k + 1}^{s})}{f_{e_{k - 1}} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s})} > 1 \end{array}$
が成り立つ。いま $e_{k} = 2 \leq e_{k - 1} \leq e_{k - 2} \leq 4$ より
$f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s}) < f_{5} (p_{k - 2}^{s}) f_{1} (p_{k + 1}^{s})$
が成り立たたなければならないが、実は $s > 0$ において
$f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s}) > f_{5} (p_{k - 2}^{s}) f_{1} (p_{k + 1}^{s})$
が成り立つ。この証明については細かくは触れ(れ)ません(私の技術的に)が、次のように正当化することはできます。

　 $x \to \infty$ において
$f_{e} (x) = \frac{1 - x^{- e}}{1 - x^{- (e + 1)}} ≒ (1 - x^{- e}) (1 + x^{- (e + 1)}) ≒ 1 - x^{- e}$
と評価できるので $s \to \infty$ において
$\begin{aligned} f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s}) & ≒ (1 - p_{k - 1}^{- 2 s}) (1 - p_{k}^{- 2 s}) ≒ 1 - p_{k - 1}^{- 2 s} \\ f_{5} (p_{k - 2}^{s}) f_{1} (p_{k + 1}^{s}) & ≒ (1 - p_{k - 2}^{- 5 s}) (1 - p_{k + 1}^{- s}) ≒ 1 - p_{k + 1}^{- s} \end{aligned}$
すなわち
$f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s}) ≒ 1 - p_{k - 1}^{- 2 s} > 1 - p_{k + 1}^{- s} ≒ f_{5} (p_{k - 2}^{s}) f_{1} (p_{k + 1}^{s})$
が成り立つ。また $x \to 1$ においては
$f_{e} (x) = \frac{\sum_{i = 0}^{e - 1} x^{- i}}{\sum_{i = 0}^{e} x^{- i}} ≒ \frac{e}{e + 1}$
と評価できるので $s \to 0$ において
$f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s}) ≒ \frac{4}{9} > \frac{5}{12} ≒ f_{5} (p_{k - 2}^{s}) f_{1} (p_{k + 1}^{s})$
が成り立つ。よって大域的にも(ほとんどの $s$ で)
$f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s}) > f_{5} (p_{k - 2}^{s}) f_{1} (p_{k + 1}^{s})$
が成り立つと考えられる。といった具合である。

なにはともあれこれによって矛盾が得られる。

ステップ4: $p_{k} \geq 11$ ならば $e_{k} = 1$ である

$p_{k}$	$p_{k + 1} p_{k + 2}$	$p_{k - 2} p_{k - 1} p_{k}$
$11$	$221$	$385$
$13$	$323$	$1001$
$17$	$437$	$2431$
$19$	$667$	$4199$

　高度合成数 $n$ が $p_{k} \geq 11$ かつ $e_{k} = 2$ を満たすとする。このとき $p_{k} \geq 23$ ならばベルトランの仮設より $p_{k + 1} < 4 p_{k - 1}, p_{k + 2} < 4 p_{k}$ なので
$p_{k + 1} p_{k + 2} < 16 p_{k - 1} p_{k} < p_{k - 2} p_{k - 1} p_{k}$
が成り立ち、また上の表から $11 \leq p_{k} \leq 19$ においてもこの不等式は成り立つことに注意して自然数 $m = n \cdot p_{k + 1} p_{k + 2} / p_{k - 2} p_{k - 1} p_{k}$ を取ると
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = \frac{f_{1} (p_{k + 1}^{s}) f_{1} (p_{k + 2}^{s})}{f_{e_{k - 2}} (p_{k - 2}^{s}) f_{e_{k - 1}} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s})} > 1$
が成り立たなければならないがが、上と同じように(厳密な証明ではないが) $s \to \infty$ において
$\frac{f_{1} (p_{k + 1}^{s}) f_{1} (p_{k + 2}^{s})}{f_{2} (p_{k - 2}^{s}) f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s})} ≒ \frac{1 - p_{k + 1}^{- s}}{1 - p_{k - 2}^{- 2 s}} < 1$
および $s \to 0$ において
$\frac{f_{1} (p_{k + 1}^{s}) f_{1} (p_{k + 2}^{s})}{f_{2} (p_{k - 2}^{s}) f_{2} (p_{k - 1}^{s}) f_{2} (p_{k}^{s})} ≒ \frac{\frac{1}{4}}{\frac{8}{27}} = \frac{27}{32} < 1$
と評価できるので矛盾。

ステップ5: $p_{k} = 2, 3$ ならば $n = 4, 36$ である

　 $p_{k} = 2, e_{k} = 2$ となるような $n$ 、つまり $n = 4$ は高度合成数である。実際
$σ_{- s} (1) = 1, σ_{- s} (2) = 1 + 2^{- s}, σ_{- s} (3) = 1 + 3^{- s}$
は全て $σ_{- s} (4) = 1 + 2^{- s} + 4^{- s}$ 未満である。
　 $p_{k} = 3, e_{k} = 3$ となるような高度合成数 $n = 2^{e} 3^{2}$ について、自然数 $m = n \cdot 5 / 6 < n$ を取ると
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = \frac{f_{1} (5^{s})}{f_{e} (2^{s}) f_{2} (3^{s})} > 1$
が成り立ち、また(厳密な証明ではないが) $s \to \infty$ において
$\frac{f_{1} (5^{s})}{f_{3} (2^{s}) f_{2} (3^{s})} ≒ \frac{1 - 5^{- s}}{1 - 8^{- s}} < 1$
および $s \to 0$ において
$\frac{f_{1} (5^{s})}{f_{3} (2^{s}) f_{2} (3^{s})} ≒ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}} = 1$
が成り立つので
$\frac{f_{1} (5^{s})}{f_{2} (3^{s})} \leq f_{3} (2^{s})$
が言える。よって $f_{e} (2^{s}) < f_{3} (2^{s})$ であり、単調性より $e < 3$ となる。ここで $e \geq e_{k} = 2$ であったので $e = 2$ すなわち $n = 36$ となる。
　ただし $24$ が $36$ 未満で最大の高度合成数であること(定理 $4$ や $σ_{- s} (30) < σ_{- s} (24)$ から簡単にわかる)に注意すると $36$ が高度合成数であるためには $σ_{- s} (24) < σ_{- s} (36)$ であればよく、これを展開して整理すると
$\begin{array}{rcl} (1 + 2^{- s} + 4^{- s} + 8^{- s}) (1 + 3^{- s}) & < & (1 + 2^{- s} + 4^{- s}) (1 + 3^{- s} + 9^{- s}) \\ 8^{- s} (1 + 3^{- s}) & < & (1 + 2^{- s} + 4^{- s}) 9^{- s} \\ 9^{s} (1 + 3^{- s}) & < & 8^{s} (1 + 2^{- s} + 4^{- s}) \\ 3^{s} + 9^{s} & < & 2^{s} + 4^{s} + 8^{s} \end{array}$
が必要十分条件ということになる。

　定理5の証明は $s = 0$ におけるラマヌジャンの論証を元に自力で考えたものになっているために $σ_{- s} (n) < σ_{- s} (m)$ を示す議論が多少不完全なものになっています。完全な証明はどこかに載っているのでしょうか...？ちなみにラマヌジャンは定理4と5のことを"We can easily show that (これは簡単に示すことができます)"と言っています。んなわけあるか。

優高度合成数の性質

　優高度合成数 $n$ はその定義から任意の $m < n$ に対して
$σ_{- s} (n) \geq {(\frac{n}{m})}^{ε} σ_{- s} (m) > σ_{- s} (m)$
を満たすので高度合成数となります。そして優高度合成数は $s, ε$ を用いて次のように明示的に素因数分解できます。

　優高度合成数 $n = \prod_{j = 1}^{k} p_{j}^{e_{j}}$ に対し
$e_{j} = ⌊ \frac{\log ((p_{j}^{ε} - p_{j}^{- s}) / (p_{j}^{ε} - 1))}{s \log p_{j}} ⌋$
および
$\frac{\log (1 + p_{k + 1}^{- s})}{\log p_{k + 1}} < ε \leq \frac{\log (1 + p_{k}^{- s})}{\log p_{k}}$
が成り立つ。

　任意に素数 $p_{i} \leq p_{k}$ を取り、 $m = n / p_{i} < n$ とおくと
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = \frac{1 - p_{i}^{- (e_{i} + 1) s}}{1 - p_{i}^{- e_{i} s}} \geq {(\frac{n}{n / p_{i}})}^{ε} = p_{i}^{ε} \dots (*_{m})$
が成り立ち、また任意に素数 $p_{i}$ を取り $l = p_{i} n > n$ とおくと
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (l)} = \frac{1 - p_{i}^{- (e_{i} + 1) s}}{1 - p_{i}^{- (e_{i} + 2) s}} > {(\frac{n}{p_{i} n})}^{ε} = p_{i}^{- ε} \dots (*_{l})$
が成り立つ。これをそれぞれ $e_{i}$ について解くことで
$\frac{\log (\frac{p_{i}^{ε} - p_{i}^{- s}}{p_{i}^{ε} - 1})}{s \log p_{i}} - 1 < e_{i} \leq \frac{\log (\frac{p_{i}^{ε} - p_{i}^{- s}}{p_{i}^{ε} - 1})}{s \log p_{i}}$
すなわち
$e_{j} = ⌊ \frac{\log (\frac{p_{j}^{ε} - p_{j}^{- s}}{p_{j}^{ε} - 1})}{s \log p_{j}} ⌋$
を得る。
　いま $e_{k} = 2$ つまり $n = 4, 36$ であるとすると $k = 1, 2$ に対して $e_{k} = 2$ かつ $e_{k + 1} = 0$ が成り立つので
$e_{k} = 2 \leq \frac{\log (\frac{p_{k}^{ε} - p_{k}^{- s}}{p_{k}^{ε} - 1})}{s \log p_{k}}, e_{k + 1} + 1 = 1 > \frac{\log (\frac{p_{k + 1}^{ε} - p_{k + 1}^{- s}}{p_{k + 1}^{ε} - 1})}{s \log p_{k + 1}}$
となる。これを $(*_{m}), (*_{l})$ の形に戻して $ε$ について解くと
$\frac{\log (1 + p_{k + 1}^{- s})}{\log p_{k + 1}} < ε \leq \frac{1}{\log p_{k}} \log (\frac{1 + p_{k}^{- s} + p_{k}^{- 2 s}}{1 + p_{k}^{- s}})$
がわかるが、
$\begin{aligned} \frac{d}{d s} (\frac{\log (1 + p_{k + 1}^{- s})}{\log p_{k + 1}} - \frac{\log ((1 + p_{k}^{- s} + p_{k}^{- 2 s}) / (1 + p_{k}^{- s}))}{\log p_{k}}) \\ = & \frac{1}{p_{k + 1}^{s} + 1} - \frac{2 p_{k}^{s} + 1}{(p_{k}^{s} + 1) (p_{k}^{2 s} + p_{k}^{s} + 1)} \geq 0 \end{aligned}$
より(この不等式については(めんどくさいので)証明しない)
$\frac{\log (1 + p_{k + 1}^{- s})}{\log p_{k + 1}} - \frac{\log ((1 + p_{k}^{- s} + p_{k}^{- 2 s}) / (1 + p_{k}^{- s}))}{\log p_{k}} > \frac{\log 2}{\log p_{k + 1}} - \frac{\log \frac{3}{2}}{\log p_{k}} > 0$
なのでそのような $ε$ は存在しない。つまり $n = 4, 36$ は優高度合成数ではない。
　以上より $e_{k} = 1$ なので $m = n / p_{k}, l = p_{k + 1} n$ とおくと
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = 1 + p_{k}^{- s} \geq p_{k}^{ε}, \frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (l)} = \frac{1}{1 + p_{k + 1}^{- s}} > p_{k + 1}^{- ε}$
すなわち
$\frac{\log (1 + p_{k + 1}^{- s})}{\log p_{k + 1}} < ε \leq \frac{\log (1 + p_{k}^{- s})}{\log p_{k}}$
を得る。

　いま示したのは $n$ が優高度合成数であれば $s$ と $ε$ を用いて明示的に表せる、という話であったが、逆に $s$ と $ε$ から作られた $n$ は優高度合成数となることが言える。

　任意の $0 < ε \leq \log (1 + 2^{- s}) / \log 2$ に対して
$e_{j} = ⌊ \frac{\log (\frac{p_{j}^{ε} - p_{j}^{- s}}{p_{j}^{ε} - 1})}{s \log p_{j}} ⌋, n = \prod_{j = 1}^{\infty} p_{j}^{e_{j}}$
とおくと、 $n$ は優高度合成数となる。

　 $e_{j}$ の定義より定理6証明内の不等式 $(*_{m}), (*_{l})$ が成り立つことに注意する。
　いま任意に $m \neq n$ を取り $n / m = \prod_{j} p_{j}^{e_{j}^{'}} (- e_{j} \leq e_{j}^{'})$ と(負の指数も認めて)素因数分解する。このとき $m = \prod_{j} p_{j}^{e_{j} + e_{j}^{'}}$ より
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} = \prod_{j} \frac{1 - p_{j}^{- (e_{j} + 1) s}}{1 - p_{j}^{- (e_{j} + e_{j}^{'} + 1) s}}$
が成り立つ。この各因数について、 $e_{j}^{'}$ が負のとき
$\frac{1 - p_{j}^{- (e_{j} + 1) s}}{1 - p_{j}^{- (e_{j} + e_{j}^{'} + 1) s}} = \prod_{i = 0}^{- e_{j}^{'} - 1} \frac{1 - p_{j}^{- (e_{j} - i + 1) s}}{1 - p_{j}^{- (e_{j} - i) s}} = \prod_{i = 0}^{- e_{j}^{'} - 1} \frac{1}{f_{e_{j} - i} (p_{j}^{s})} \geq \frac{1}{f_{e_{j}} (p_{j}^{s})^{- e_{j}^{'}}} \geq p_{j}^{e_{j}^{'} ε}$
となり、また $e_{j}^{'}$ が正のとき
$\frac{1 - p_{j}^{- (e_{j} + 1) s}}{1 - p_{j}^{- (e_{j} + e_{j}^{'} + 1) s}} = \prod_{i = 1}^{e_{j}^{'}} \frac{1 - p_{j}^{- (e_{j} + i) s}}{1 - p_{j}^{- (e_{j} + i + 1) s}} = \prod_{i = 1}^{e_{j}^{'}} f_{e_{j} + i} (p_{j}^{s}) \geq f_{e_{j} + 1} (p_{j}^{s})^{e_{j}^{'}} > p_{j}^{e_{j}^{'} ε}$
となるのでこれらを掛け合わせることで
$\frac{σ_{- s} (n)}{σ_{- s} (m)} \geq \prod_{j} p_{j}^{e_{j}^{'} ε} = {(\frac{n}{m})}^{ε}$
を得る。
　また $m > n$ のとき、少なくともどれか一つは $e_{j}^{'} > 0$ となるので真の不等号が成り立つ。よって $n$ は優高度合成数である。

　また別の表現として次のような公式が成り立つ。これは後の記事でも使われるように不等式や近似と相性のいい公式となっている。

　 $N$ を優高度合成数とし、実数列 ${x_{r}}$ を方程式
$x_{r}^{ε} = \frac{1 - x_{r}^{- s (r + 1)}}{1 - x_{r}^{- s r}}$
によって定める。このとき
$ϑ (x) = \sum_{p \leq x} \log p, Π_{r} (x) = \prod_{p \leq x} \frac{1 - p^{- s (r + 1)}}{1 - p^{- s r}}$
とおくと
$N = \exp (\sum_{r = 1}^{\infty} ϑ (x_{r})), σ_{- s} (N) = \prod_{r = 1}^{\infty} Π_{r} (x_{r})$
が成り立つ。

　素因数分解 $N = \prod_{j = 1}^{k} p_{j}^{e_{j}}$ において $e_{i} \geq r$ となるような $i$ の内、最大のものを $i_{r} (r = 1, 2, \dots, e_{1})$ とおく。このとき $e_{1} \geq e_{2} \geq \dots \geq e_{k} = 1$ であったことを思い出すと、
$\begin{aligned} N & = \prod_{r = 1}^{e_{1}} \prod_{p \leq p_{i_{r}}} p \\ = \exp (\sum_{r = 1}^{e_{1}} \sum_{p \leq p_{i_{r}}} \log p) = \exp (\sum_{r = 1}^{e_{1}} ϑ (p_{i_{r}})) \\ σ_{- s} (N) & = \prod_{r = 1}^{e_{1}} \prod_{p \leq p_{i_{r}}} \frac{1 - p^{- s (r + 1)}}{1 - p^{- s r}} = \prod_{r = 1}^{e_{1}} Π_{r} (p_{i_{r}}) \end{aligned}$
が成り立つ。
　いま定理6の証明内の $(*_{m})$ を思い出すと $e_{i_{r}} \geq r$ より
$p_{i_{r}}^{ε} \leq \frac{1}{f_{e_{i_{r}}} (p_{i_{r}}^{s})} \leq \frac{1}{f_{r} (p_{i_{r}}^{s})} = \frac{1 - p_{i_{r}}^{- s (r + 1)}}{1 - p_{i_{r}}^{- s r}}$
であって、また $(*_{l})$ を思い出すと $e_{i_{r} + 1} \leq r - 1$ より
$p_{i_{r} + 1}^{ε} > \frac{1}{f_{e_{i_{r} + 1} + 1} (p_{i_{r} + 1}^{s})} \geq \frac{1}{f_{r} (p_{i_{r} + 1}^{s})} = \frac{1 - p_{i_{r} + 1}^{- s (r + 1)}}{1 - p_{i_{r} + 1}^{- s r}}$
が成り立つ。つまり $h_{r} (x) = x^{ε} - 1 / f_{r} (x^{s})$ とおくと $h_{r} (p_{i_{r}}) \leq 0, h_{r} (p_{i_{r} + 1}) > 0$ なので $h_{r} (x_{r}) = 0$ なる実数 $p_{i_{r}} \leq x_{r} < p_{i_{r} + 1}$ が存在し、特に $p_{i_{r}}$ は $x_{r}$ 以下の素数で最大のものとなる。すなわち
$ϑ (x_{r}) = ϑ (p_{i_{r}}), Π_{r} (x_{r}) = Π_{r} (p_{i_{r}})$
が成り立つ。
　また $(*_{l})$ から $h_{e_{1} + 1} (2) > 0 = h_{e_{1} + 1} (x_{e_{1} + 1})$ なので $r > e_{1}$ において $x_{r} < 2$ が成り立つ(補題3参照)。つまり $r > e_{1}$ において $ϑ (x_{r}) = Π_{r} (x_{r}) = 0$ が成り立つ。
　以上より
$\begin{aligned} N & = \exp (\sum_{r = 1}^{e_{1}} ϑ (p_{i_{r}})) = \exp (\sum_{r = 1}^{\infty} ϑ (x_{r})) \\ σ_{- s} (N) & = \prod_{r = 1}^{e_{1}} Π_{r} (p_{i_{r}}) = \prod_{r = 1}^{\infty} Π_{r} (p_{i_{r}}) \end{aligned}$
を得る。

　任意の自然数 $n$ と $0 < ε \leq \log (1 + 2^{- s}) / \log 2$ に対して
$σ_{- s} (n) \leq n^{ε} \prod_{r = 1}^{\infty} \frac{Π_{r} (x_{r})}{e^{ε ϑ (x_{r})}}$
が成り立つ。特に $n = \exp (\sum_{r = 1}^{\infty} ϑ (x_{r}))$ のとき、等号が成立する。

　定理 $7, 8$ より $N = \prod_{r = 1}^{\infty} e^{ϑ (x_{r})}$ は優高度合成数となるので任意の $n \neq N$ に対して
$σ_{- s} (n) \leq n^{ε} \frac{σ_{- s} (N)}{N^{ε}} = n^{ε} \prod_{r = 1}^{\infty} \frac{Π_{r} (x_{r})}{e^{ε ϑ (x_{r})}}$
を得る。また少なくとも $n = N$ のとき、この等号は成立する。

　以上です。では。

おまけ： $s = 0$ の(優)高度合成数の性質

　 $s = 0$ の(優)高度合成数に成り立つ性質およびその証明は $s > 0$ の時とほとんど同じです。というか $s > 0$ における諸不等式を $s \to 0$ に飛ばせば全く同じ議論ができるので証明については省略します。

　 $n$ が高度合成数であるとき $e_{1} \geq e_{2} \geq \dots \geq e_{k} (\geq 1)$ が成り立ち、特に $n \neq 4, 36$ のとき $e_{k} = 1$ が成り立つ。

　 $n$ が優高度合成数であるとき、
$e_{j} = ⌊ \frac{1}{p_{j}^{ε} - 1} ⌋, \frac{\log 2}{\log p_{k + 1}} < ε \leq \frac{\log 2}{\log p_{k}}$
が成り立つ。逆に任意の $0 < ε \leq 1$ に対して
$n = \prod_{j = 1}^{\infty} p_{j}^{e_{j}} (e_{j} = ⌊ \frac{1}{p_{j}^{ε} - 1} ⌋)$
で自然数 $n$ を定めると、 $n$ は優高度合成数となる。

　 $N$ を優高度合成数とし、実数列 ${x_{r}}$ を
$x_{r} = {(1 + \frac{1}{r})}^{\frac{1}{ε}}$
によって定める。このとき
$N = \exp (\sum_{r = 1}^{\infty} ϑ (x_{r})), d (N) = \prod_{r = 1}^{\infty} Π_{r} (x_{r})$
が成り立つ。また任意の自然数 $n$ と $0 < ε \leq 1$ に対して
$d (n) \leq n^{ε} \prod_{r = 1}^{\infty} \frac{Π_{r} (x_{r})}{e^{ε ϑ (x_{r})}}$
が成り立つ。特に $n = \exp (\sum_{r = 1}^{\infty} ϑ (x_{r}))$ のとき、等号が成立する。

おまけ： $s = 0$ における優高度合成数についての色々な表

　( $s = 0$ の)優高度合成数を小さい順に $N_{1}, N_{2}, \dots$ と置いたとき、 $N_{1} \sim N_{10}$ および $d (N_{i})$ は次のように求まります。
$\begin{array}{rclrclrcl} N_{1} & = & 2 & = & 2 & d (N_{1}) & = & 2 \\ N_{2} & = & 6 & = & 2 \cdot 3 & d (N_{2}) & = & 4 \\ N_{3} & = & 12 & = & 2^{2} \cdot 3 & d (N_{3}) & = & 6 \\ N_{4} & = & 60 & = & 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 & d (N_{4}) & = & 12 \\ N_{5} & = & 120 & = & 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 & d (N_{5}) & = & 16 \\ N_{6} & = & 360 & = & 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 & d (N_{6}) & = & 24 \\ N_{7} & = & 2520 & = & 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 & d (N_{7}) & = & 48 \\ N_{8} & = & 5040 & = & 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 & d (N_{8}) & = & 60 \\ N_{9} & = & 55440 & = & 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 & d (N_{9}) & = & 120 \\ N_{10} & = & 720720 & = & 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 & d (N_{10}) & = & 240 \end{array}$
また対応する $ε_{i}$ の取り得る値の範囲を $δ_{i + 1} < ε_{i} \leq δ_{i}$ とおくとこれらは次のように求まります。
$\begin{array}{rclrc} δ_{1} & = & 1 & = & 1 \\ δ_{2} & = & \log_{3} 2 & = & 0.6309 \dots \\ δ_{3} & = & \log_{2} 3 - 1 & = & 0.5849 \dots \\ δ_{4} & = & \log_{5} 2 & = & 0.4306 \dots \\ δ_{5} & = & 2 - \log_{2} 3 & = & 0.4150 \dots \\ δ_{6} & = & 1 - \log_{3} 2 & = & 0.3690 \dots \\ δ_{7} & = & \log_{7} 2 & = & 0.3562 \dots \\ δ_{8} & = & \log_{2} 5 - 2 & = & 0.3219 \dots \\ δ_{9} & = & \log_{11} 2 & = & 0.2890 \dots \\ δ_{10} & = & \log_{13} 2 & = & 0.2702 \dots \end{array}$
そして $ε_{i} = δ_{i}$ において対応する実数列 ${x_{r}^{(i)}}$ や $d (N_{i}) / N_{i}^{ε_{i}}$ は次のように求まります。
$\begin{array}{cllllllcl} i & x_{1}^{(i)} & x_{2}^{(i)} & x_{3}^{(i)} & x_{4}^{(i)} & x_{5}^{(i)} & x_{6}^{(i)} & d (N_{i}) / N_{i}^{ε_{i}} \\ 1 & 2 & 1.5 & \dots & 1 \\ 2 & 3 & 1.901 \dots & \dots & 1.291 \dots \\ 3 & 3.270 \dots & 2 & 1.635 \dots & \dots & 1.402 \dots \\ 4 & 5 & 2.563 \dots & 1.950 \dots & \dots & 2.057 \dots \\ 5 & 5.312 \dots & 2.656 \dots & 2 & 1.711 \dots & \dots & 2.193 \dots \\ 6 & 6.541 \dots & 3 & 2.180 \dots & 1.830 \dots & \dots & 2.733 \dots \\ 7 & 7 & 3.121 \dots & 2.242 \dots & 1.870 \dots & \dots & 2.948 \dots \\ 8 & 8.611 \dots & 3.523 \dots & 2.443 \dots & 2 & 1.761 \dots & \dots & 3.856 \dots \\ 9 & 11 & 4.066 \dots & 2.705 \dots & 2.163 \dots & 1.878 \dots & \dots & 5.103 \dots \\ 10 & 13 & 4.483 \dots & 2.899 \dots & 2.283 \dots & 1.963 \dots & \dots & 6.269 \dots \end{array}$

参考文献

[1]

S. Ramanujan, Highly Composite Numbers, Proc. London Math. Soc., 1915, pp. 347–409

[2]

Jean-Louis Nicolas, Guy Robin, Highly Composite Numbers by Srinivasa Ramanujan, The Ramanujan Journal, 1997, pp. 119–153

投稿日：2021年11月15日

更新日：2024年1月25日

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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子葉

一般化優高度合成数の性質

はじめに
補題
高度合成数の性質
優高度合成数の性質
おまけ：$s=0$の(優)高度合成数の性質
おまけ：$s=0$における優高度合成数についての色々な表
参考文献

一般化優高度合成数の性質

はじめに

補題

高度合成数の性質

ステップ1:ek≤2である

ステップ2:pk≥5ならばek−2≤4である

ステップ3:5≤pk≤19ならばek=1である

ステップ4:pk≥11ならばek=1である

ステップ5:pk=2,3ならばn=4,36である

優高度合成数の性質

おまけ：s=0の(優)高度合成数の性質

おまけ：s=0における優高度合成数についての色々な表

参考文献

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ステップ1: $e_{k} \leq 2$ である

ステップ2: $p_{k} \geq 5$ ならば $e_{k - 2} \leq 4$ である

ステップ3: $5 \leq p_{k} \leq 19$ ならば $e_{k} = 1$ である

ステップ4: $p_{k} \geq 11$ ならば $e_{k} = 1$ である

ステップ5: $p_{k} = 2, 3$ ならば $n = 4, 36$ である

おまけ： $s = 0$ の(優)高度合成数の性質

おまけ： $s = 0$ における優高度合成数についての色々な表