高校数学解説

黄金比とフィボナッチ数列

フィボナッチ数列,黄金比

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黄金比

$1 : \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ を黄金比という。

$ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ とします。
$x^{2} - x - 1 = 0$ の解の1つです。
$ϕ$ はこんな表示もできます。

$ϕ = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}$

フィボナッチ数列との関係

フィボナッチ数列

$F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ で定まる数列 ${F_{n}}$ をフィボナッチ数列という。

$ϕ^{2} = ϕ + 1$ が成り立つので
$ϕ^{3} = ϕ^{2} + ϕ = 2 ϕ + 1$
となります。
同様にして、
$ϕ^{4} = 3 ϕ + 2, ϕ^{5} = 5 ϕ + 3, ϕ^{6} = 8 ϕ + 5$
が求まります。
ここまで計算すれば次の式に気づくと思います。

2以上の自然数 $n$ に対して、
$ϕ^{n} = F_{n} ϕ + F_{n - 1}$
が成り立つ。ただし、 $F_{n}$ は $n$ 番目のフィボナッチ数とする。

数学的帰納法で示す。
[1] $n = 2$ のときは明らかに成り立つ。
[2] $n = k (k ≧ 2)$ のときに成り立つと仮定すると、
$ϕ^{k + 1} = ϕ ･ ϕ^{k} = ϕ (F_{k} ϕ + F_{k - 1}) = (ϕ + 1) F_{k} + ϕ F_{k - 1} = (F_{k} + F_{k - 1}) ϕ + F_{k} = F_{k + 1} ϕ + F_{k}$
よって、 $n = k + 1$ のときにも成り立つ。
[1],[2]から、題意は示された。

フィボナッチ数列の一般項

先ほど示した式から、
$ϕ^{n - 1} = F_{n} + \frac{F_{n - 1}}{ϕ} F_{n} = ϕ^{n - 1} - \frac{F_{n - 1}}{ϕ}$
となるので、これを繰り返し用いて、
$F_{n} = ϕ^{n - 1} - \frac{1}{ϕ} (ϕ^{n - 2} - \frac{F_{n - 2}}{ϕ}) = ϕ^{n - 1} - ϕ^{n - 3} + \frac{F_{n - 2}}{ϕ^{2}}$
$⋮$
$= ϕ^{n - 1} - ϕ^{n - 3} + ϕ^{n - 5} - \dots + \frac{(- 1)^{n - 1}}{ϕ^{n - 1}} F_{1} = ϕ^{n - 1} - ϕ^{n - 3} + ϕ^{n - 5} - \dots + \frac{(- 1)^{n - 1}}{ϕ^{n - 1}}$
よって、
$\frac{F_{n}}{ϕ^{n - 1}} = 1 - \frac{1}{ϕ^{2}} + \frac{1}{ϕ^{4}} - \dots + \frac{(- 1)^{n - 1}}{ϕ^{2 (n - 1)}}$
これは、初項1,公比 $- \frac{1}{ϕ^{2}}$ ,項数 $n$ の等比数列の和であるから、
$\frac{F_{n}}{ϕ^{n - 1}} = \frac{1 - (- \frac{1}{ϕ^{2}})^{n}}{1 - (- \frac{1}{ϕ^{2}})}$
したがって、
$F_{n} = \frac{ϕ^{n - 1} - \frac{1}{ϕ} (- \frac{1}{ϕ})^{n}}{1 + \frac{1}{ϕ^{2}}} = \frac{ϕ^{n} - (- \frac{1}{ϕ})^{n}}{ϕ + \frac{1}{ϕ}}$
これで一般項が求まりました！
$ϕ + \frac{1}{ϕ} = \sqrt{5}$ なので、