2次方程式の解の配置

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数学Ⅰで出てくる2次方程式の解の配置(存在範囲)の問題についてです。

ここでは、2次方程式が重解を持つとき、解の個数は2個とカウントします。

$x$ の2次方程式 $x^{2} - a x + b = 0 \dots (*)$ が $p ≦ x ≦ q$ の範囲に持つ解の個数と定数 $a, b$ にはどんな関係があるか。 $($ ただし $a, b$ は実定数で、 $p ≦ q$ とします。 $)$

グラフの問題に帰着させる

$(*)$ を $4$ 倍して
$4 x^{2} - 4 a x + 4 b = 0$
よって
$(2 x - a)^{2} = a^{2} - 4 b$
この右辺は $(*)$ の判別式 $D$ に等しいです。

ということで、 $(*)$ が $p ≦ x ≦ q$ の範囲に持つ解の個数は、放物線 $y = (2 x - a)^{2}$ と直線 $y = D$ の $p ≦ x ≦ q$ の範囲での共有点の個数に等しいことが分かりました。

共有点の個数を求める

$f (x) = (2 x - a)^{2}$ とおきます。 $y = D$ は定数関数なので、 $y = f (x)$ のとりうる値の範囲を求め、(その範囲内の与えられたある $y$ に対して $y = f (x)$ となる) $x$ の個数がどんなときに1個になったり2個になったりするか考えます。

$y = f (x)$ のグラフは軸 $x = \frac{a}{2}$ ,下に凸の放物線なので、
軸が定義域内にあるかどうかや最大値をとる $x$ の値が $p$ か $q$ かを考えることで、次の4通りに分けることができます。

$[1] a < 2 p$ のとき
$[2] 2 p ≦ a ≦ p + q$ のとき
$[3] p + q ≦ a ≦ 2 q$ のとき
$[4] 2 q < a$ のとき

それぞれのときで $y = f (x)$ のグラフを使って共有点の個数を求めましょう。

$[1] a < 2 p$ のとき
!FORMULA[36][1122069991][0] $a < 2 p$
グラフから、
共有点が0個なのは $D < f (p), f (q) < D$ のときで、
共有点が1個なのは $f (p) ≦ D ≦ f (q)$ のときで、
共有点が2個以上になることはない。

$f (x) = (2 x - a)^{2}$ と $D = a^{2} - 4 b$ を用いて $b$ について整理すると、

2個	1個	0個
なし	$a q - q^{2} ≦ b ≦ a p - p^{2}$	$b < a q - q^{2}, a p - p^{2} < b$

$[2] 2 p ≦ a ≦ p + q$ のとき
!FORMULA[45][589249581][0] $2 p ≦ a ≦ p + q$
グラフから、
共有点が0個なのは $D < 0, f (q) < D$ のときで、
共有点が1個なのは $f (p) < D ≦ f (q)$ のときで、
共有点が2個なのは $0 ≦ D ≦ f (p)$ のときで、
共有点が3個以上になることはないから、

2個	1個	0個
$a p - p^{2} ≦ b ≦ \frac{a^{2}}{4}$	$a q - q^{2} ≦ b < a p - p^{2}$	$b < a q - q^{2}, \frac{a^{2}}{4} < b$

$[3] p + q ≦ a ≦ 2 q$ のとき
!FORMULA[53][-579364842][0] $p + q ≦ a ≦ 2 q$
グラフから、
共有点が0個なのは $D < 0, f (p) < D$ のときで、
共有点が1個なのは $f (q) < D ≦ f (p)$ のときで、
共有点が2個なのは $0 ≦ D ≦ f (q)$ のときで、
共有点が3個以上になることはないから、

2個	1個	0個
$a q - q^{2} ≦ b ≦ \frac{a^{2}}{4}$	$a p - p^{2} ≦ b < a q - q^{2}$	$b < a p - p^{2}, \frac{a^{2}}{4} < b$

$[4] 2 q < a$ のとき
!FORMULA[61][1080252572][0] $2 q < a$
グラフから、
共有点が0個なのは $D < f (q), f (p) < D$ のときで、
共有点が1個なのは $f (q) ≦ D ≦ f (p)$ のときで、
共有点が2個以上になることはないから、

2個	1個	0個
なし	$a p - p^{2} ≦ b ≦ a q - q^{2}$	$b < a p - p^{2}, a q - q^{2} < b$

$[1], [2], [3], [4]$ をまとめると、こうなります。

$x^{2} - a x + b = 0$ が $p ≦ x ≦ q$ の範囲に持つ解の個数と $a, b$ の関係は、

	2個	1個	0個
$a < 2 p$ のとき	なし	$Q ≦ b ≦ P$	$b < Q, P < b$
$2 p ≦ a ≦ p + q$ のとき	$P ≦ b ≦ \frac{a^{2}}{4}$	$Q ≦ b < P$	$b < Q, \frac{a^{2}}{4} < b$
$p + q ≦ a ≦ 2 q$ のとき	$Q ≦ b ≦ \frac{a^{2}}{4}$	$P ≦ b < Q$	$b < P, \frac{a^{2}}{4} < b$
$2 q < a$ のとき	なし	$P ≦ b ≦ Q$	$b < P, Q < b$