2次方程式の解の配置

数学Ⅰで出てくる2次方程式の解の配置(存在範囲)の問題についてです。

グラフの問題に帰着させる

$(*)$を$4$倍して
$$4x^2-4ax+4b=0$$
よって
$$(2x-a)^2=a^2-4b$$
この右辺は$(*)$の判別式$D$に等しいです。

ということで、$(*)$が$p\leqq x \leqq q$の範囲に持つ解の個数は、放物線$y=(2x-a)^2$と直線$y=D$の$p\leqq x \leqq q$の範囲での共有点の個数に等しいことが分かりました。

共有点の個数を求める

$f(x)=(2x-a)^2$とおきます。$y=D$は定数関数なので、$y=f(x)$のとりうる値の範囲を求め、(その範囲内の与えられたある$y$に対して$y=f(x)$となる)$x$の個数がどんなときに1個になったり2個になったりするか考えます。

$y=f(x)$のグラフは軸$x=\frac{a}{2}$,下に凸の放物線なので、
軸が定義域内にあるかどうかや最大値をとる$x$の値が$p$か$q$かを考えることで、次の4通りに分けることができます。

$[1]a< 2p$のとき
$[2]2p\leqq a\leqq p+q$のとき
$[3]p+q\leqq a\leqq 2q$のとき
$[4]2q< a$のとき

それぞれのときで$y=f(x)$のグラフを使って共有点の個数を求めましょう。

$[1]a<2p$のとき
$a<2p$
グラフから、
共有点が0個なのは$D< f(p),f(q)< D$のときで、
共有点が1個なのは$f(p)\leqq D \leqq f(q)$のときで、
共有点が2個以上になることはない。

$f(x)=(2x-a)^2$と$D=a^2-4b$を用いて$b$について整理すると、

$[2]2p\leqq a\leqq p+q$のとき
$2p\leqq a\leqq p+q$
グラフから、
共有点が0個なのは$D<0,f(q)< D$のときで、
共有点が1個なのは$f(p)< D \leqq f(q)$のときで、
共有点が2個なのは$0\leqq D \leqq f(p)$のときで、
共有点が3個以上になることはないから、

$[3]p+q\leqq a\leqq 2q$のとき
$p+q\leqq a\leqq 2q$
グラフから、
共有点が0個なのは$D<0,f(p)< D$のときで、
共有点が1個なのは$f(q)< D \leqq f(p)$のときで、
共有点が2個なのは$0\leqq D \leqq f(q)$のときで、
共有点が3個以上になることはないから、

$[4]2q< a$のとき
$2q< a$
グラフから、
共有点が0個なのは$D< f(q),f(p)< D$のときで、
共有点が1個なのは$f(q)\leqq D \leqq f(p)$のときで、
共有点が2個以上になることはないから、

$[1],[2],[3],[4]$をまとめると、こうなります。

最後まで読んでくださってありがとうございます。