星型多角形の内角の和

内側の多角形$M$の頂点$m1$と$m2$、
内角$\mathrm{\angle }M1$と$\mathrm{\angle }M2$、
外側の星型多角形$N$の頂点$n1$、
内角$\mathrm{\angle }N1$、
三角形$\mathrm{△}n1m1m2$とすると、
$\mathrm{\angle }M1=\mathrm{\angle }n1+\mathrm{\angle }m1$
$\mathrm{\angle }M2=\mathrm{\angle }n1+\mathrm{\angle }m2$
$\mathrm{\angle }M1+\mathrm{\angle }M2=\mathrm{\angle }N1+\pi$
多角形$M$は任意の点において$m$個の三角形に分割することができる。
$m\pi -2\pi =(m-2)\pi$
多角形$M$の内角の和は$(m-2)\pi$である。
$\therefore$
$2(n-2)\pi -n\pi =(n-4)\pi$
星型多角形$N$の内角の和は$(n-4)\pi$である。