展開・因数分解　問題解説

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

タイムアタック　目標2分
展開せよ
(1) $(x + 1) (x + 3)$
(2) $(x - 5) (x + 3)$
(3) $(2 x + 3) (x - 2)$
(4) $(x + 2 y - 1) (x + 2 y + 1)$
因数分解せよ
(1) $x^{2} - 3 x + 2$
(2) $x^{2} - 2 x y - 35 y^{2}$
(3) $2 x^{2} - 3 x - 2$
(4) $x^{2} + 9 y^{2} - 6 x y - 1$

解答
(1) $(x + 1) (x + 3) =$ $x^{2} + x + 3 x + 3 =$ $x^{2} + 4 x + 3$
答え　 $x^{2} + 4 x + 3$
(2) $(x - 5) (x + 3) =$ $x^{2} - 5 x + 3 x - 15 =$ $x^{2} - 2 x - 15$
答え　 $x^{2} - 2 x - 15$
(3) $(2 x + 3) (x - 2) =$ $2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6 =$ $2 x^{2} - x - 6$
答え　 $2 x^{2} - x - 6$
(4) $(x + 2 y - 1) (x + 2 y + 1) =$ { $(x + 2 y) - 1$ }{ $(x + 2 y) + 1$ } $=$ $(x + 2 y)^{2} - 1^{2} =$ $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} - 1$ ( $x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 1$ )
答え　 $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} - 1$ ( $x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 1$ )
因数分解
(1) $x^{2} - 3 x + 2 =$ $(x - 1) (x - 2)$
答え　 $(x - 1) (x - 2)$
(2) $x^{2} - 2 x y - 35 y^{2} =$ $(x - 7 y) (x + 5 y)$
答え　 $(x - 7 y) (x + 5 y)$
(3) $2 x^{2} - 3 x - 2 =$ $(2 x + 1) (x - 2)$
答え　 $(2 x + 1) (x - 2)$
(4) $x^{2} + 9 y^{2} - 6 x y - 1 =$ $(x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}) - 1 =$ $(x - 3 y)^{2} - 1 =$ $(x - 3 y + 1) (x - 3 y - 1)$
答え　 $(x - 3 y + 1) (x - 3 y - 1)$
応用
因数分解せよ
(1) $x^{2} + 2 x y + y^{2} - 5 x - 5 y + 6$
(2) $(x - 3) (x + 3) + x (x - 7) + (3 - x) (x + 1)$
(3) $(x - 2 y)^{2} - 8 x y + 4 x^{2}$
(4) $(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3$
(5) $3 x y + x + 3 y + 1$
(6) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x + 2 y - 3$
(7) $a b^{2} + b - b^{3} - a$
(8) $x^{3} - x^{2} - x + 1$
(9) $x^{2} - x z + y z - y^{2}$

展開せよ
$(- x y^{2})^{3} \div$ { $(- x^{2} y^{3})^{2} \div (- \frac{2}{3} x y^{2})$ }÷ $(- \frac{y^{2}}{x})^{2}$

解説
(1) $x^{2} + 2 x y + y^{2} - 5 x - 5 y + 6 =$ $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 5 x + 5 y + 6 =$ $(x + y)^{2} - 5 x + 5 y + 6 =$ $(x + y)^{2} - 5 (x + y) + 6 =$ $(x + y - 3) (x + y - 2)$
答え　 $(x + y - 3) (x + y - 2)$
(2) $(x - 3) (x + 3) + x (x - 7) + (3 - x) (x + 1) =$ $(x^{2} - 9) + (x^{2} - 7 x) + (- x^{2} + 2 x + 3) =$ $x^{2} - 5 x - 6 =$ $(x + 1) (x - 6)$
答え　 $(x + 1) (x - 6)$
(3) $(x - 2 y)^{2} - 8 x y + 4 x^{2} =$ $(x - 2 y)^{2} + 4 x (x - 2 y) =$ $(x - 2 y) (x - 2 y + 4 x) =$ $(x - 2 y) (5 x - 2 y)$
答え　 $(x - 2 y) (5 x - 2 y)$
別解
$(x - 2 y)^{2} - 8 x y + 4 x^{2} =$ $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} - 8 x y + 4 x^{2} =$ $5 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2} =$ $(5 x - 2 y) (x - 2 y)$
(4) $(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 =$ $(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} - 2 x + 1) =$ $(x - 3) (x + 1) (x - 1)^{2}$
答え　 $(x - 3) (x + 1) (x - 1)^{2}$
(5) $3 x y + x + 3 y + 1 =$ $x (3 y + 1) + 3 y + 1 =$ $(3 y + 1) (x + 1)$
答え　 $(3 y + 1) (x + 1)$
(6) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 =$ $(x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 (x - y) =$ $(x - y)^{2} - 2 (x - y) =$ $(x - y) (x - y - 2)$
(7) $a b^{2} + b - b^{3} - a =$ $a (b^{2} - 1) - b (b^{2} - 1) =$ $(a - b) (b^{2} - 1) =$ $(a - b) (b - 1) (b + 1)$
答え　 $(a - b) (b - 1) (b + 1)$
(8) $x^{3} - x^{2} - x + 1 =$ $x^{2} (x - 1) - (x - 1) =$ $(x - 1) (x^{2} - 1) =$ $(x - 1)^{2} (x + 1)$
答え　 $(x - 1)^{2} (x + 1)$
(9) $x^{2} - x z + y z - y^{2} =$ $(x^{2} - y^{2}) - z (x - y) =$ $(x - y) (x + y) - z (x - y) =$ $(x - y) (x + y - z)$
答え　 $(x - y) (x + y - z)$