各自然数を、1という数字だけで表現する

各自然数を、$1$という数字だけで表現してみます。
ここでは、使った$1$の数が、最も少なくなるようにしています。

それでは、スタート！

$1=1$　
$2=1+1$
$3=1+1+1$
$4=1+1+1+1$
$5=(1+1+1)!-1$
$6=(1+1+1)!$
$7=(1+1+1)!+1$
$8=(1+1+1+1)!!$
$9=11-1-1$
$10=11-1$
$11=11$
$12=11+1$
$13=11+1+1$
$14=11+1+1+1$
$15=((1+1+1)!-1)!!$
$16=((1+1+1)!-1)!!+1$
$17=((1+1+1)!-1)!!+1+1$
$18=(1+1)\times (11-1-1)$
$19=(1+1)\times (11-1)-1$
$20=(1+1)\times (11-1)$
$21=(1+1)\times 11-1$
$22=(1+1)\times 11$
$23=(1+1)\times 11+1$
$24=(1+1+1+1)!$
$25=(1+1+1+1)!+1$
$26=(1+1)\times (11+1+1)$
$27=(1+1+1{)}^{(1+1+1)}$
$28=(1+1)\times (11+1+1+1)$
$29=(1+1+1)\times (11-1)-1$
$30=(1+1+1)\times (11-1)$
$31=(1+1+1)\times (11-1)+1$
$32=(1+1+1)\times 11-1$
$33=(1+1+1)\times 11$
$34=(1+1+1)\times 11+1$
$35=((1+1+1)!{)}^{(1+1)}-1$
$36=((1+1+1)!{)}^{(1+1)}$
$37=111÷(1+1+1)$
$38=111÷(1+1+1)+1$
$39=(1+1+1)\times (11+1+1)$
$40=(1+1+1+1)\times (11-1)$

ふぅ、、、
$40$まで表現しましたが、ここまででもっとも多く使った$1$の数は、$7$つです。

意外と(?)、$1$をあまり使わなくてもいけるんですね。

今回は、四則演算と累乗のほかに、階乗や二重階乗を使いましたが、これも使えるんじゃない？というのがありましたら、コメント欄で教えてください。使ってみます。

また気が向いたら、$41$以降も、挑戦してみます。
乞うご期待