三角関数の逆関数のなにか~備忘録1~

オイラーの定理$(e^{ix}=\cos x+i\sin x)$より，次のような事実が成り立つ．
$$\begin{array}{r}\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.\end{array}$$
これらの逆関数を求めたい．$y=\cos x,y=\sin x$とおくと，それらの逆関数は
$$\begin{array}{r}x=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}(0\le y\le \pi ,-1\le x\le 1),x=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}(-\pi /2\le y\le \pi /2,-1\le x\le 1).\end{array}$$
であり，これらを$y$について解くと，
$$\begin{array}{r}y=\arccos x=-i\log (x\pm i\sqrt{1-x^2}),y=\arcsin x=-i\log (ix\pm \sqrt{1-x^2}).\end{array}$$
逆関数が定義されるとき，その写像は全単射であるはずなので，$+,-$のいずれかが不適当である．が，この符号には意味があり，$+$は$\cos y,\sin y$に，$-$は$\cos (\pi -y),\sin (\pi -y)$に対応していると考えると合理的である．
また，$y=\arccos$のとき，オイラーの定理より，$\cos y=x,\sin y=\sqrt{1-x^2}$が成り立つ．$\sin$も同様である．あとは簡単であり，
$$\begin{array}{rl}\arccos x+\arcsin x& =-i\log (x+i\sqrt{1-x^2})+-i\log (ix+\sqrt{1-x^2})\\ & =-i\log i \\ & =-i\log e^{\frac{\pi i}{2}}\\ & =\frac{\pi }{2}\end{array}$$
である．ちなみに，$\log (-1)=\pi i$．