三角関数の逆関数のなにか~備忘録1~

オイラーの定理$(e^{ix} = \cos x + i\sin x)$より，次のような事実が成り立つ．
\begin{align*} \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} ,\quad \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \quad. \end{align*}
これらの逆関数を求めたい．$y=\cos x, y=\sin x$とおくと，それらの逆関数は
\begin{align*} x = \frac{e^{iy} + e^{-iy}}{2} (0 \leq y \leq \pi, -1 \leq x \leq 1), \quad x = \frac{e^{iy} - e^{-iy}}{2i} (-\pi/2 \leq y \leq \pi/2, -1\leq x \leq 1) \quad. \end{align*}
であり，これらを$y$について解くと，
\begin{align*} y = \arccos x = -i \log (x\pm i\sqrt{1-x^2}), \quad y = \arcsin x = -i \log (ix \pm \sqrt{1-x^2}) \quad . \end{align*}
逆関数が定義されるとき，その写像は全単射であるはずなので，$+,-$のいずれかが不適当である．が，この符号には意味があり，$+$は$\cos y,\sin y$に，$-$は$\cos(\pi - y),\sin (\pi - y)$に対応していると考えると合理的である．
また，$y=\arccos$のとき，オイラーの定理より，$\cos y = x, \sin y = \sqrt{1 - x^2}$が成り立つ．$\sin$も同様である．あとは簡単であり，
\begin{align*} \arccos x + \arcsin x &= -i \log (x + i\sqrt{1-x^2}) + -i \log (ix + \sqrt{1-x^2})\\ &= - i \log i　\\ &= - i \log e^{\frac{\pi i}{2}}\\ &= \frac{\pi}{2} \end{align*}
である．ちなみに，$\log (-1) = \pi i$．