周期数列と3項間漸化式

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$x$ の2次方程式 $x^{2} + p x + q = 0$ が、偏角が $θ$ である虚数解を持つような実定数 $p, q$ に対して次が成り立ちます。

$\frac{θ}{π}$ が0でない有理数のとき、以下の2条件は同値である。
1. $a_{n + 2} + p a_{n + 1} + q a_{n} = 0 \dots ①$ を満たす(0でない項を持つ)周期実数列 ${a_{n}}$ が存在する。
2. $q = 1$ である。

これを示していきます。

周期数列について

ここでは、ある自然数 $k$ が存在して、任意の自然数 $n$ に対して、 $a_{n + k} = a_{n}$ となる数列 ${a_{n}}$ を周期数列と呼ぶことにします。

$x^{2} + p x + q = 0$ の解は虚数であるので、 $x = r e^{\pm i θ} (r > 0)$ というふうに置くことができます。(このとき、 $r$ は解の絶対値になります。)
すると、次が成り立ちます。

①を満たす全ての数列 ${a_{n}}$ の一般項は
$a_{n} = r^{n} {A \cos (n θ) + B \sin (n θ)}$
と表せる。
ただし、 $A, B$ は任意の実定数とする。

①は隣接3項間漸化式であるのでその特性方程式 $x^{2} + p x + q = 0$ の解を $α, β (α \neq β)$ とおくと、 ${a_{n}}$ の一般項は $a_{n} = C_{1} α^{n} - C_{2} β^{n} (C_{1} = \frac{a_{1} - β a_{0}}{α - β}, C_{2} = \frac{a_{1} - α a_{0}}{α - β})$ と表せます。(このことの証明は省略させていただきます。)
今回の話においては解は虚数であるので $α \neq β$ であり、 $α = r e^{i θ}, β = r e^{- i θ}$ (逆でもよい)であるから、
$a_{n} = C_{1} (r e^{i θ})^{n} - C_{2} (r e^{- i θ})^{n} a_{n} = r^{n} (C_{1} e^{i n θ} - C_{2} e^{- i n θ})$ $a_{n} = r^{n} {C_{1} (\cos (n θ) + i \sin (n θ)) - C_{2} (\cos (n θ) - i \sin (n θ))}$
$a_{n} = r^{n} {(C_{1} - C_{2}) \cos (n θ) + i (C_{1} + C_{2}) \sin (n θ)}$
ここで、 $C_{1} - C_{2} = a_{0},$ $i (C_{1} + C_{2}) = \frac{i (2 a_{1} - (α + β) a_{0})}{α - β} = \frac{i (2 a_{1} + p a_{0})}{α - β}$
$α, β$ は共役複素数だから、これらは実数。それぞれ $A, B$ とおくと、 $a_{n} = r^{n} {A \cos (n θ) + B \sin (n θ)}$
実数 $a_{0}, a_{1}$ のとり方によって $A, B$ も任意の実数値をとる。

次に、求めた一般項を使って周期数列になるための条件を求めます。

${a_{n}}$ は実数列とする。
$\frac{θ}{π}$ が0でない有理数のとき、ある実定数 $A, B$ が存在して、 $a_{n} = r^{n} {A \cos (n θ) + B \sin (n θ)}$
が(0でない項をもつ)周期数列となるための必要十分条件は、 $r = 1$ である。

$b_{n} = \frac{a_{n}}{r^{n}}$ とおくと、 $b_{n} = A \cos (n θ) + B \sin (n θ)$ である。
$\frac{θ}{π}$ は有理数なので、それを $\frac{a}{b} (a, b は互いに素な整数)$ とおくと、
$(n + 2 b) \frac{a}{b} π = \frac{n a}{b} π + 2 a π$
であるから、 $b_{n + 2 b} = b_{n} \dots ②$
よって数列 ${b_{n}}$ は周期数列である。
ここで、 $N (k) = {2 k b + n ∣ n = 0, 1, 2, \dots, 2 b - 1} (k \in Z_{\geq 0})$ とおき、
$m (k) = max_{n \in N (k)} | a_{n} |$ とおく。
②より、 $m (k + l) = r^{2 b l} m (k)$ であるから、
$r > 1$ のとき、 $lim_{l \to \infty} m (k + l) = \infty$ となり、 ${a_{n}}$ は周期数列にならない。
$r < 1$ のとき、 $lim_{l \to \infty} m (k + l) = 0$ となるが、
${a_{n}}$ は0でない項をもつので、この場合も ${a_{n}}$ は周期数列にならない。
ゆえに、 ${a_{n}}$ が周期数列ならば、 $r = 1$ である。
逆に、 $r = 1$ とすると $a_{n} = b_{n}$ であるので、 ${a_{n}}$ は周期数列である。

2次方程式の虚数解について、次が成り立ちます。

$x$ の2次方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ ( $a, b$ は実定数) $\dots ③$ が虚数解を持つとき、その虚数解の絶対値は $\sqrt{b}$ である。

③を解くと、
$x = - \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4} - b}$
③は虚数解を持つので、判別式 $a^{2} - 4 b$ は負であるから、
$x = - \frac{a}{2} \pm \sqrt{b - \frac{a^{2}}{4}} i$
これの絶対値は、
$| x | = \sqrt{(- \frac{a}{2})^{2} + b - \frac{a^{2}}{4}} = \sqrt{b}$