周期数列と3項間漸化式

①は隣接3項間漸化式であるのでその特性方程式$x^2+px+q=0$の解を$α,β(α\neq β)$とおくと、$\{a_n\}$の一般項は$a_n=C_1 α^n-C_2 β^n(C_1=\frac{a_1-βa_0}{α-β},C_2=\frac{a_1-αa_0}{α-β})$と表せます。(このことの証明は省略させていただきます。)
今回の話においては解は虚数であるので$α\neq β$であり、$α=re^{i\theta},β=re^{-i\theta}$(逆でもよい)であるから、
$$ a_n=C_1(re^{i\theta})^n-C_2(re^{- i\theta})^n\\ a_n=r^n(C_1e^{in\theta}-C_2e^{-in\theta})$$ $$a_n=r^n\{C_1(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))-C_2(\cos(n\theta)-i\sin(n\theta))\}$$
$$ a_n=r^n\{(C_1-C_2)\cos(n\theta)+i(C_1+C_2)\sin(n\theta)\}$$
ここで、$C_1-C_2=a_0,$$i(C_1+C_2)=\frac{i(2a_1-(α+β)a_0)}{α-β}=\frac{i(2a_1+pa_0)}{α-β}$
$α,β$は共役複素数だから、これらは実数。それぞれ$A,B$とおくと、$$ a_n=r^n\{A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)\}$$
実数$a_0,a_1$のとり方によって$A,B$も任意の実数値をとる。

$b_n=\frac{a_n}{r^n}$とおくと、$b_n=A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)$である。
$\frac{\theta}{\pi}$は有理数なので、それを$\frac{a}{b}(a,bは互いに素な整数)$とおくと、
$$ (n+2b)\frac{a}{b}\pi=\frac{na}{b}\pi+2a\pi$$
であるから、$$b_{n+2b}=b_n\cdots ②$$
よって数列$\{b_n\}$は周期数列である。
ここで、$$ N(k)=\{2kb+n\mid n=0,1,2,\cdots ,2b-1\}(k\in \mathbb{Z}_{\geq0})$$とおき、
$$ m(k)=\max_{n\in N(k)} | a_n |$$とおく。
​②より、$$m(k+l)=r^{2bl} m(k)$$であるから、
$r>1$のとき、$$ \lim_{l \to \infty}m(k+l)=\infty$$となり、$\{a_n\}$は周期数列にならない。
$r<1$のとき、$$ \lim_{l \to \infty}m(k+l)=0$$となるが、
$\{a_n\}$は0でない項をもつので、この場合も$\{a_n\}$は周期数列にならない。
ゆえに、$\{a_n\}$が周期数列ならば、$r=1$である。
逆に、$r=1$とすると$a_n=b_n$であるので、$\{a_n\}$は周期数列である。

③を解くと、
$$ x=-\frac{a}{2}\pm \sqrt{\frac{a^2}{4}-b}$$
③は虚数解を持つので、判別式$a^2-4b$は負であるから、
$$ x=-\frac{a}{2}\pm \sqrt{b-\frac{a^2}{4}}i$$
これの絶対値は、
$$ |x|=\sqrt{(-\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}}=\sqrt b$$