東大文系 2006[1] の初等解

問題

半径 $\dfrac{65}{8}$ の円に内接する周長 $44$ の四角形 $\rm ABCD$ において、$\rm BC=CD=13$ のとき
残り二辺の長さを求めよ。

解答

$\rm\angle B+\angle D=180^{\circ}$より等辺 $\rm BC,CD$ が重なるよう点 $\rm C$ 中心で $\rm\triangle ABC$ を回転すると
四角形は底辺 $44-13\times 2=18$ の二等辺三角形 $T$ に移せる。
辺 $\rm CD$ と円の直径 $\rm CE$ の比は $4:5$ であり、円周角の定理をもとに $\rm\triangle CDE$ は $T$ を
半分にした直角三角形と相似で、その辺比は $3:4:5$ となる。

よって、$T$ の高さは $9\div 3\times 4=12$ より斜辺 $\rm CD$ で各辺が $5,12,13$ の直角三角形を
踏まえると、求める二辺の長さは $9\pm 5=4,14$ となる。