東大文系 2006[1] の初等解

問題

半径 ${\displaystyle \frac{65}{8}}$ の円に内接する周長 $44$ の四角形 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ において、$\mathrm{B}\mathrm{C}=\mathrm{C}\mathrm{D}=13$ のとき
残り二辺の長さを求めよ。

解答

$\mathrm{\angle }\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{D}={180}^{\circ }$より等辺 $\mathrm{B}\mathrm{C},\mathrm{C}\mathrm{D}$ が重なるよう点 $\mathrm{C}$ 中心で $\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ を回転すると
四角形は底辺 $44-13\times 2=18$ の二等辺三角形 $T$ に移せる。
辺 $\mathrm{C}\mathrm{D}$ と円の直径 $\mathrm{C}\mathrm{E}$ の比は $4:5$ であり、円周角の定理をもとに $\mathrm{△}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}$ は $T$ を
半分にした直角三角形と相似で、その辺比は $3:4:5$ となる。

よって、$T$ の高さは $9\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }3\times 4=12$ より斜辺 $\mathrm{C}\mathrm{D}$ で各辺が $5,12,13$ の直角三角形を
踏まえると、求める二辺の長さは $9\pm 5=4,14$ となる。