JMO2015予選第6問の解説の解説

数学オリンピック,数オリ

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数オリの解説の解説

数オリの解説が分かりにくすぎる!!!

ということで解説の解説と題して, 問題を解く思考過程なども加えた解説を書いていこうと思います.

JMO予選 2015 第6問

正の整数 $a, b, c$ が次の $4$ つの条件を満たすとする:

$a, b, c$ の最大公約数は $1$ である.
$a, b + c$ の最大公約数は $1$ より大きい.
$b, c + a$ の最大公約数は $1$ より大きい.
$c, a + b$ の最大公約数は $1$ より大きい.

このとき, $a, b, c$ のとりうる最小の値を求めよ.

解説
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解説

[解答: 30]
$g_{1} = gcd (a, b + c)$
$g_{2} = gcd (b, c + a)$
$g_{3} = gcd (c, a + b)$
とおく.
$g_{1}$ と $g_{2}$ をともに割り切る素数 $p$ が存在したとすると, $a, b$ はともに $p$ で割りきれる. さらに $b + c$ は $p$ で割り切れるので, $c$ も $p$ で割りきれて, $a, b, c$ の最大公約数が $1$ であることに反する.
よって $g_{1}$ と $g_{2}$ は互いに素である. 同様に $g_{2}$ と $g_{3}$ , $g_{3}$ と $g_{1}$ も互いに素であることがわかる.
以上と $g_{1}, g_{2}, g_{3}$ が $1$ より大きいことより, $g_{1} g_{2} g_{3} ≧ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ となる. さらに $g_{1}$ は $a, b + c$ をともに割りきるので, $a + b + c$ を割りきる. 同様に $g_{2}, g_{3}$ も $a + b + c$ を割りきるので, $g_{1} g_{2} g_{3}$ は $a + b + c$ を割りきる.
よって $a + b + c ≧ g_{1} g_{2} g_{3} ≧ 30$ .
一方, たとえば $(a, b, c) = (2, 3, 25)$ のとき問題の条件が成り立ち, $a + b + c = 30$ がみたされるので, 求める最小値は $30$ である.

解説の解説

とりあえず、わからないものを文字でおく.
$g_{1} = gcd (a, b + c)$
$g_{2} = gcd (b, c + a)$
$g_{3} = gcd (c, a + b)$

互いに素っぽい!!
$\to$ 互いに素でないことを仮定して背理法
$g_{1}$ と $g_{2}$ をともに割り切る素数 $p$ が存在したとすると, $a, b$ はともに $p$ で割りきれる. さらに $b + c$ は $p$ で割り切れるので, $c$ も $p$ で割りきれて, $a, b, c$ の最大公約数が $1$ であることに反する.
よって $g_{1}$ と $g_{2}$ は互いに素である. 同様に $g_{2}$ と $g_{3}$ , $g_{3}$ と $g_{1}$ も互いに素であることがわかる.
最終目標の $a + b + c$ の方向へもっていきたい
$g_{1} | (a + b + c), g_{2} | (a + b + c), g_{3} | (a + b + c)$ が成り立つ.
$g_{1}$ と $g_{2}$ , $g_{2}$ と $g_{3}$ , $g_{3}$ と $g_{1}$ が互いに素であったから, $g_{1} g_{2} g_{3} | (a + b + c)$ である.
最小値を求める問題で「割りきる」, 「積」が出てきたら不等式で下からおさえてみる.
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 ≦ g_{1} g_{2} g_{3} ≦ a + b + c$
$2, 3, 5$ を使っていろいろ試す.
たぶん, 最小のときは $a$ と $b$ , $b$ と $c$ , $c$ と $a$ は互いに素になりそう.
$(a, b, c) = (2, 3, 5)$ のときダメ.
$(a, b, c) = (4, 3, 5)$ もダメ.
$(a, b, c) = (2, 9, 5)$ もダメ.
$(a, b, c) = (4, 9, 5)$ もダメ.
$(a, b, c) = (2, 3, 25)$ のとき成り立つ.