自作問題No.35

問題

$a,b,c$が自然数ならば等式$$\mathrm{lcm}(a,b,c)\cdot\mathrm{gcd}(a,b)\cdot\mathrm{gcd}(b,c)\cdot\mathrm{gcd}(c,a)=abc\cdot\mathrm{gcd}(a,b,c)$$が成り立つことを示せ。
ただし、自然数$x,y,z$に対して、$\mathrm{lcm}(x,y,z),\mathrm{gcd}(x,y),\mathrm{gcd}(x,y,z)$はそれぞれ$x,y,z$の最小公倍数、$x,y$の最大公約数、$x,y,z$の最大公約数を表すとする。