OMC060-Eの三角関数わからない人向け雑解説

準備

まず, $f(x)$ の項数は3ですごく複雑です. $f(x)$ を $x$ 軸方向に $-\frac{2021}{2}$ だけ移動すると, $k=\frac{2021}{2}$ とすることで $f(x)=x^2+3k^2$ となってスッキリします. このとき, $-k\le a\le k$ となることに気をつけて下さい. 次に, $x_n$ を問題の手順と逆の順序で取っていくことを考えます. つまり, $x_1=a$ とし, $x_n$ が定まっているとき, $x_{n+1}$ を $(x_n,0)$ から $C:y=f(x)$ へ引いた2つの接線のうち一方と $C$ の接点の $x$ 座標とします. このようなことを行っても, 求める答えは変わりません.

答えを出す

$x_n$ が定まっているとき, $x_{n+1}$ の候補となる実数は2通り考えられますが, これらは $x_n$ によらず一方が負, もう一方が正となることを確かめられます. ここで, 次のような命題が成立します(単調性から明らか).

よって, $x_2,...,x_{20}$ の正負の組み合わせのうち, $0<x_1\le k$ かつ $0<x_{21}\le k$ とできるものの数(の2倍)を求めれば良いことが分かります($x_i$が相異なるという条件は後からどうにでもなるので無視します).
次のような事実(容易に確認できる)に注目すれば,

・$x_n>k$ のとき $x_{n+1}$ としてありえる負の値は $-k$ より大きい.
・$x_n\le k$ のとき $x_{n+1}$ としてありえる負の値は $-k$ より小さい.
・$x_n<-k$ のとき $x_{n+1}$ としてありえる正の値は $k$ より小さい.
・$x_n\ge -k$ のとき $x_{n+1}$ としてありえる正の値は $k$ より大きい.

条件を満たす正負の組の構造は, $x_{20},x_{19},...,x_2$ の順に

負, 正, 負, ..., 正, 負, 負 ...(なんでもいい)...

というような形になることが分かります. つまり, 負と正を何回か交互に繰り返した後負が2回続いてそれ以降は何でも良いです. このような正負の列の数は $2^{17}+2^{15}+\cdots +2^1+1=\frac{2^{19}+1}{3}$ 通りあります. 包除原理によって $x_1,...,x_{20}$ の中に重複があるものを取り除けば, 求める答えは
$2\times (\frac{2^{19}+1}{3}-\frac{2^9+1}{3}-\frac{2^3+1}{3}+\frac{2^1+1}{3})=349180$
です.