平方数や三角数の有限和

これは 日曜数学 Advent Calendar 2021 の24日目の記事です。
公開が遅くなってすみません🙏

平方数、三角数とは以下で定義される整数のことです。
\begin{align} S_n &= n+\cdots+n = n^2 \\ T_n &= 1+\cdots+n \end{align}
平方数と三角数の有限和を考えます。
\begin{align} V_n &= S_1+\cdots+S_n \\ W_n &= T_1+\cdots+T_n \end{align}
ブロックを組み合わせて以下の等式が分かります。
\begin{align} T_n &= \frac{n(n+1)}{2} \\ V_n &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ W_n &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \end{align}
他にも幾つかの等式を導くことができます。
\begin{align} 3W_n &= T_{n}\times (n+2) \\ 3W_n &= T_{n+1}\times n \\ 6W_n + (n+1) &= (n+1)^3 \\ 6T_n+1 &= (n+1)^3-n^3 \\ T_{n}+T_{n-1} &= S_{n} \\ W_{n}+W_{n-1} &= V_{n} \end{align}
$T_n, V_n, W_n$の形を知っていれば、後半の6式は自明なので面白みが少ないですが、数式に対応したブロックの配置が存在することが非自明で面白いと感じます。

このような視覚的な“証明”は英語では Visual ProofやProof without Words などと呼ばれ、書籍では こちら が詳しいです。