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偏差値の最大値

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はじめに

アルゴ式の次の問題の解説で少し疑問に感じた点があったので少し考えてみました。

https://algo-method.com/tasks/702

問題概要

100点満点のテストをN人が受けたときの偏差値の最大値はいくつか

解法と疑問

直感的には次の考え方でAC可能です。

一人が100点(満点)で残りの全員が0点となるとき,100点をとった一人の偏差値がとりうる偏差値の最大値となる。
      N = int(input())
A = [0] * N
A[0] = 100  #一人だけ100点
avA = sum(A)/N #平均
var = sum(map(lambda a:(a-avA)**2 , A))/N #分散
sd = var ** 0.5 #標準偏差
print(10*(100-avA)/sd + 50) #偏差値
    

これでACですが,解説には以下のような記載がありました。

(偏差値の)最大値はT=50+10N1

X さん以外のN−1 人の点数は全て等しい。これをもとに,X さんが 1 点を,残りの人が 0点を取った場合のX さんの偏差値を考えると次のようになります。

と続き,この仮定をもとに計算して,偏差値の最大値として,上述のT=50+10N1を得ています。

ん?なぜXさんは1点なのだ?100点満点じゃないの?

この記載を読んで,このように思った人は僕だけではないはず。

問題設定

ということで,次の問題を考えることにします。

N人(Xさんと,残りN-1人)の人がテストを受けるとき,Xさんの偏差値が最大となるのは,次の条件を満たすときで,N人それぞれの得点(の値)は偏差値には無関係である。

(条件)Xさん以外のN-1人の点数が全て等しい

(条件)を満たすときにXさんの偏差値が最大となることの証明はアルゴ式に記載があるので,そこは認めることとします。

ここでは,次の条件において具体的にXさんの偏差値を計算します。

  • Xさんの得点がa
  • Xさん以外のN1人の得点がb
  • a>b

**平均について **
μ=a+(N1)bN

また,今後よく出てくるので次の値も計算しておく。
aμ=aa(N1)bN=(N1)a(N1)bN=N1N(ab)

同様にbμも計算しておく。
bμ=ba(N1)bN=a+bN
 
**分散について **

V=1N((aμ)2+(N1)(bμ)2)=1N((N1N)2(ab)2+(N1)(a+bN)2)=1N((N1N)2(ab)2+(N1N2)(ab)2)=1N(N2NN2)(ab)2

標準偏差について
sd=V=1N(N2NN2)(ab)2=1N(N2NN2)(ab)

Xさんの偏差値について
T=50+10aμsd
であるから,T:=aμsdについて計算する。

T=aμsd=N1N(ab)11N(n2NN2)(ab)=N1

したがって,このときのXさんの偏差値TはXさんや,そのほかの人の得点(abに依らず)
T=50+10N1
となる。

2021/12/29 追記

定数倍で不変であること

なかけん さんに次のような助言をいただいたので追記します。

全体の点数をx倍(正の値)すると、平均と点数との差はx倍、分散はxの2乗倍、標準偏差はx倍になり、偏差値の式の分数の分母分子への影響が打ち消し合います。なので、1点のケースは全体を100倍した時と同じ偏差値になります。

Xさんがa点をとったときの偏差値TT=50+10aμsdでした。
このとき,(Xさんも含めて)全員の得点がk(>0)倍されたときのXさんの偏差値を考えることとします。
このとき,k倍されたあとの各値を下つき文字kをつけて表すとすると
ak=ka
μk=kμ
sdk=ksd
が成り立ちます(証明は後述)。したがって,
Tk=50+10akμksdk=50+10kakμksd=50+10aμsd=T
となり,偏差値Tは全員の得点が定数倍されても不変であるということがわかります。ここで,a=1k=100とすればもともとの疑問への回答が得られたことになります。

さらに一般化

N個のデータx1,x2,,xNがある。このN個のデータの平均をx¯,分散をVx,標準偏差をσxとする。また,各データxiに対して,yi=kxi+dなる変換を施す(全員のテストの得点をk倍してd加える)。この変換後の平均をy¯,分散をVy,標準偏差をσyとする。このとき,次が成り立つ。

線形変換

y¯=kx¯+d
Vy=k2Vx
σy=kσx
ただし,k>0とする。

y¯=i=0N(kxi+d)N=ki=0Nxi+NdN=kx¯+dVy=i=0N(yiy¯)2N=i=0N(kxi+d(kx¯+d))2N=i=0N(kxikx¯)2N=k2i=0N(xix¯)2N=k2Vxσy=Vy=k2Vx=kVx=kσx

これを利用すると,元の得点aをとったときの偏差値Tと,全体の得点をk倍してd加えたあとのka+d点(もともとのa点)の偏差値Tの関係は次のように計算することができる。
T=50+10ka+d(kμ+d)ksd=50+10k(aμ)ksd=50+10aμsd=T

したがって次の結論を得る。

偏差値は線形変換に対して不変である

投稿日:20211226
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投稿者

とも
とも
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広島県の高校で数学の教員をやっていたはずなのに,気づけば違う仕事をしております。高校数学と大学で学ぶ数学の橋渡しのようなことができればいいなと思っています。記事に誤り等あれば教えてください。

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