偏差値の最大値

はじめに

アルゴ式の次の問題の解説で少し疑問に感じた点があったので少し考えてみました。

https://algo-method.com/tasks/702

問題概要

100点満点のテストを$N$人が受けたときの偏差値の最大値はいくつか

解法と疑問

直感的には次の考え方でAC可能です。

      N = int(input())
A = [0] * N
A[0] = 100  #一人だけ100点
avA = sum(A)/N #平均
var = sum(map(lambda a:(a-avA)**2 , A))/N #分散
sd = var ** 0.5 #標準偏差
print(10*(100-avA)/sd + 50) #偏差値
    

これでACですが，解説には以下のような記載がありました。

（偏差値の）最大値は$T = 50 + 10\sqrt{N-1}$

X さん以外のN−1 人の点数は全て等しい。これをもとに，X さんが 1 点を，残りの人が 0点を取った場合のX さんの偏差値を考えると次のようになります。

と続き，この仮定をもとに計算して，偏差値の最大値として，上述の$T = 50 + 10\sqrt{N-1}$を得ています。

ん？なぜXさんは1点なのだ？100点満点じゃないの？

この記載を読んで，このように思った人は僕だけではないはず。

問題設定

ということで，次の問題を考えることにします。

（条件）を満たすときにXさんの偏差値が最大となることの証明はアルゴ式に記載があるので，そこは認めることとします。

ここでは，次の条件において具体的にXさんの偏差値を計算します。

• Xさんの得点が$a$点
• Xさん以外の$N-1$人の得点が$b$点
• $a \gt b $

**平均について **
$$\mu = \frac{a+(N-1)b}{N}$$

また，今後よく出てくるので次の値も計算しておく。
\begin{align*} a-\mu &= a-\dfrac{a-(N-1)b}{N} \\ &= \dfrac{(N-1)a-(N-1)b}{N} \\ &= \dfrac{N-1}{N}(a-b) \end{align*}

同様に$b-\mu$も計算しておく。
\begin{align*} b-\mu &= b-\dfrac{a-(N-1)b}{N} \\ &= \dfrac{-a+b}{N} \end{align*}
　
**分散について **

\begin{align*} V &= \dfrac{1}{N}\left( (a-\mu)^2 + (N-1)(b-\mu)^2 \right) \\ &= \dfrac{1}{N}\left( \left(\dfrac{N-1}{N}\right)^2(a-b)^2 + (N-1) \left( \dfrac{-a+b}{N} \right)^2 \right) \\ &= \dfrac{1}{N}\left( \left(\dfrac{N-1}{N}\right)^2 (a-b)^2 + \left(\dfrac{N-1}{N^2} \right) (a-b)^2 \right) \\ &= \dfrac{1}{N}\left(\dfrac{N^2-N}{N^2}\right) (a-b)^2 \\ \end{align*}

標準偏差について
$$sd = \sqrt{V} = \sqrt{\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{N^2-N}{N^2}\right) (a-b)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{N^2-N}{N^2}\right)}(a-b) $$

Xさんの偏差値について
$$ T = 50 + 10\dfrac{a-\mu}{sd} $$
であるから，$T' := \dfrac{a-\mu}{sd}$について計算する。

\begin{align*} T' &= \dfrac{a-\mu}{sd} \\ &= \dfrac{N-1}{N}(a-b) \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{N}\left(\dfrac{n^2-N}{N^2}\right)}(a-b) } \\ &= \sqrt{N-1} \end{align*}

したがって，このときのXさんの偏差値$T$はXさんや，そのほかの人の得点（$a$や$b$に依らず）
$$T = 50 + 10\sqrt{N-1}$$
となる。

2021/12/29 追記

定数倍で不変であること

なかけん さんに次のような助言をいただいたので追記します。

全体の点数をx倍（正の値）すると、平均と点数との差はx倍、分散はxの2乗倍、標準偏差はx倍になり、偏差値の式の分数の分母分子への影響が打ち消し合います。なので、1点のケースは全体を100倍した時と同じ偏差値になります。

Xさんが$a$点をとったときの偏差値$T$は$T = 50 + 10\dfrac{a-\mu}{sd}$でした。
このとき，（Xさんも含めて）全員の得点が$k$($>0$)倍されたときのXさんの偏差値を考えることとします。
このとき，$k$倍されたあとの各値を下つき文字$_k$をつけて表すとすると
$$a_k = ka$$
$$\mu_k = k\mu$$
$$sd_k = k\cdot sd$$
が成り立ちます（証明は後述）。したがって，
\begin{align*} T_k &= 50 + 10\dfrac{a_k-\mu_k}{sd_k} \\ &= 50 + 10\dfrac{ka-k\mu}{k\cdot sd} \\ &= 50 + 10\dfrac{a-\mu}{sd} \\ &= T \end{align*}
となり，偏差値$T$は全員の得点が定数倍されても不変であるということがわかります。ここで，$a=1$，$k = 100$とすればもともとの疑問への回答が得られたことになります。

さらに一般化

$N$個のデータ$x_1,x_2,\cdots , x_N$がある。この$N$個のデータの平均を$\bar{x}$，分散を$V_x$，標準偏差を$\sigma_x$とする。また，各データ$x_i$に対して，$y_i = kx_i + d$なる変換を施す（全員のテストの得点を$k$倍して$d$加える）。この変換後の平均を$\bar{y}$，分散を$V_y$，標準偏差を$\sigma_y$とする。このとき，次が成り立つ。

これを利用すると，元の得点$a$をとったときの偏差値$T$と，全体の得点を$k$倍して$d$加えたあとの$ka+d$点（もともとの$a$点）の偏差値$T'$の関係は次のように計算することができる。
\begin{align*} T' &= 50 + 10 \dfrac{ka+d-(k\mu + d)}{k\cdot sd} \\ &= 50 + 10 \dfrac{k(a-\mu)}{k\cdot sd} \\ &= 50 + 10\dfrac{a-\mu}{sd} \\ &= T \end{align*}

したがって次の結論を得る。