自作問題あなぐら６（定積分で表された数列の極限）

問題

　 $n$ を自然数とし， $x \geq 0$ で定義された関数 $f_{n} (x)$ を
$f_{n} (x) = \frac{n^{\frac{3}{2}}}{x (x + \sqrt{n})} {\log (1 + \frac{x}{\sqrt{n}})} \sin (\frac{x^{2}}{n^{2}})$
で定める．ただし， $\log$ は自然対数とする．

$x > 0$ において不等式
$x - \frac{x^{3}}{3} ≦ \sin x ≦ x$
が成り立つことを示せ．
定積分 $I_{n}$ を
$I_{n} = \int_{\sqrt{n}}^{2 \sqrt{n}} f_{n} (x) d x$
で定める．不等式
$I_{n} ≦ \int_{1}^{2} \frac{x}{x + 1} \log (x + 1) d x$
が成り立つことを示せ．
数列 ${I_{n}}$ が収束することを示し，その極限値 $lim_{n \to \infty} I_{n}$ を求めよ．

余話

　かなり人工的な問題です（それゆえ美しくない問題だとも思っています）．確か，大阪大学2015の問題の類題を作ろうと思い，式を弄ってたら出来た問題だったはず．

解答

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(1) $g (x) = x - \sin x (x > 0)$ ， $h (x) = \frac{x^{3}}{3} - g (x) (x > 0)$ とおく． $g^{'} = 1 - \cos x \geq 0$ ゆえ $g$ は単調増加で， $lim_{x \to + 0} g (x) = 0$ と合わせて $g (x) > 0$ を得る．よって $x > 0$ において $x > \sin x$ が成立．同様に， $h^{'} = x^{2} - g^{'}$ および $h^{″} = 2 x - \sin x > x - \sin x > 0$ ゆえ $h^{'}$ は単調増加で， $lim_{x \to + 0} h^{'} (x) = 0$ と合わせて $h^{'} (x) > 0$ を得る．したがって $h$ は単調増加で， $lim_{x \to + 0} h (x) = 0$ と合わせて $h (x) > 0$ を得る．よって $x > 0$ において $x - \frac{x^{3}}{3} < \sin x$ が成立．以上より，示すべき命題は示された．
(2) 前問で示した不等式から $\sin (\frac{x^{2}}{n^{2}}) ≦ \frac{x^{2}}{n^{2}}$ が成立するので
$I_{n} ≦ \int_{\sqrt{n}}^{2 \sqrt{n}} \frac{x}{\sqrt{n} (x + \sqrt{n})} {\log (1 + \frac{x}{\sqrt{n}})} d x .$
ここで $t = \frac{x}{\sqrt{n}}$ と置換すると
$\begin{aligned} I_{n} & ≦ \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{n} t}{\sqrt{n} (\sqrt{n} t + \sqrt{n})} {\log (1 + \frac{\sqrt{n} t}{\sqrt{n}})} \sqrt{n} d t \\ = \int_{1}^{2} \frac{t}{t + 1} \log (t + 1) d t \\ = \int_{1}^{2} \frac{x}{x + 1} \log (x + 1) d x \end{aligned}$
となって示された．
(3) $J = \int_{1}^{2} \frac{x}{x + 1} \log (x + 1) d x$ とおくと前問の結果より $I_{n} ≦ J$ ． $I_{n}$ に対して，前問と同様に不等式 $x - \frac{x^{3}}{3} ≦ \sin x$ を用い， $t = \frac{x}{\sqrt{n}}$ なる置換をして整理すると
$\begin{aligned} I_{n} & ≧ J - \frac{1}{3} \int_{\sqrt{n}}^{2 \sqrt{n}} \frac{x^{5}}{n^{\frac{9}{2}} (x + \sqrt{n})} {\log (1 + \frac{x}{\sqrt{n}})} d x \\ = J - \frac{1}{3 n^{2}} \int_{1}^{2} \frac{t^{5}}{t + 1} \log (1 + t) d t . \end{aligned}$
$n \to \infty$ のとき，第2項は0に収束する．よって，はさみうちの原理から $lim_{n \to \infty} I_{n} = J$ となる．つまり $I_{n}$ は $J$ に収束し， ${I_{n}}$ が収束することが示される．そして
$\begin{aligned} J & = \int_{1}^{2} {\log (x + 1) - \frac{1}{x + 1} \log (x + 1)} d x \\ = {[(x + 1) \log (x + 1) - x - \frac{1}{2} {\log (x + 1)}^{2}]}_{1}^{2} \\ = 3 \log 3 - 2 \log 2 - 1 - \frac{(\log 3)^{2} - (\log 2)^{2}}{2} . \end{aligned}$
以上より
$lim_{n \to \infty} I_{n} = \log \frac{27}{4} - 1 - \frac{(\log 3)^{2} - (\log 2)^{2}}{2} .$